算术公理系统之：实数（七） (2-2)

以这种方式产生的实数轴，上面有哪些可区分数都是一样的，而可区分数之间的不可区分数则很可能存在或多或少的差异。也就意味着，我随手建的实数轴和你随手建的实数轴，大概率不是同一条实数轴。不过，它们之间的差异对于人们通常的计算来说，应该不会有影响。因为计算的最终结果，不可区分数都是收敛到可区分数的，使得不可区分数上的差异体现不出来，而所有可区分数又都是一样的，所以不管是哪条实数轴，拿来用就可以了，随便怎么算结果是一样的。

要说适应性，这个才是鲜活的适应性，前面谈及的序关系和连续性相形之下就显得呆板。这个适应性居然能做到在变化中保持不变，与几何的拓扑性确有几分接近，是不是意味着实数也具有拓扑性，或者说实数也能呈现出拓扑性呢?——这是一个很有意思的问题。

适应性，无疑将刷新我们对实数的认知，至少不应还停留在最初的连续性上。从广义来理解，实数中的可区分数与不可区分数，实数之间的序关系以及连续性，还有实数的无限性，都是某种适应性的具体体现。然而，不论什么样的适应性都是内在禀赋的外在表现，所谓有内在才有外在。实数作为一个体，它能表现出某种适应性，取决于这个体的内在禀赋，即它的基本元素、基本运算和基本关系。而这些基本的元素、运算和关系都以公理的方式出现，并构成一个系统，它负责源源不断地产生实数。这个系统就称为实数公理系统，或者算术公理系统。实数公理，不是一个可有可无的空壳，而是整个实数的基础，犹如DNA之于人体，它是渗透到每个实数的骨子里的，没有它就没有实数。

这个公理系统是否完备，是由适应性来检验的，或者说由外在的他者来检验，自己说了不算。将实数一个一个映射到直线上，直线是连续的，那么实数就要能适应这种连续性，做不到那肯定就不完备了。现行实数理论是不完备的，它做不到连续性，因为它的基本元素就不完备，0、∞和1这三个基本元素，∞是缺失的，致使关于∞的基本运算也是缺失的。基本关系是大小关系，但是它的大小关系跟序关系又是混淆不清的，所谓的序公理，其实应该称为值公理。三层实数能做到上述各种适应性，它背后的公理系统自当没这些毛病，明显对于直线来说这个系统是完备的。

得到一个完备的实数公理系统，能够源源不断地产生所需要的实数，还不足以说明公理系统的强大。它的强大要落实到运算上，在各种复杂的约束条件下算出我们想要的结果，比如通过天王星的周期性异动计算出一颗未知行星的运行轨道之类。为此下一篇我们就聊聊实数的运算，预先强调，这运算是基于一个完整和完备的“实数体”的运算。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。