算术公理系统之：实数（四） (6-5)

其实这不对，1到(0，1)之间，还有比1小，同时又能大于或等于(0，1)中所有数的上界存在。要知道，从(0，1)到1是连续的（这一点如果不好理解，可以将1再加回到(0，1)区间，变成半闭区间(0，1]来看），(0，1)中必有一个数紧挨着1，这个数是0.999…998＋0×ω，这个数再加一个0，就到下一个数1了，因此也可以将这个数表示成1－0（意即1的前一个数）。它就是比1小的数，并且它是(0，1)中的最大数，即大于或等于(0，1)中的所有数。所以1不是(0，1)的上确界，1－0才是。很显然，对于开区间的情况，所谓的上确界仍然是区间的上边界，仍然可以称之为“有上界则必有上边界”。

既然不论是闭区间还是开区间，所谓的“确界”最终指向的都是区间上的“边界”，那么是否可以考虑将“确界原理”更名为“边界原理”呢，即“有上界则必有上边界”、“有下界则必有下边界”?——明显这样的表述更为准确（注意，两者的内容实质是一致的）——估计数学家是不会同意的，因为原来的确界原理，对于闭区间来说，这个“确界”是落在区间上的，而对于开区间来说，这个“确界”数学家认为是落在区间外的，其实不是。但这个被认为是落在区间外的“确界”正好为极限概念的引入，留下一个几乎是量身订制的接口。

你想啊，先是认为(0，1)上没有最大数，(0，1)中的数只会向着1越来越大、越来越接近1，那么1不就正好是这个趋近过程的极限嘛。1对(0，1)来说既是确界，同时也是极限，是极限就可以自然接入关于极限的一整套理论和方法。如果把“确界”改成“边界”，意味着从0点到1点，可以连续地经过其间的每一个点，哪怕是无穷多个点；也可以在其间的任意一个点上停下来，每一个点都可以作为终点，于是就不存在无限趋近而不可达的过程。没有这样的过程当然就没极限什么事了，数学家们历时两三百年时间精心打造的极限理论，岂不是给废了，说废就废，他们能同意吗?

戴德金分割

整明白(0，1)区间身上发生的事情之后，再来整戴德金分割，就比较容易整清楚了。

戴德金分割，其关键就是“分割”。围绕分割展开的第一个问题是，对谁进行分割，分割的对象是什么?戴德金在1872年出版的《连续性与无理数》中开篇第1节就讲到有理数的性质，并依次列出了三条，分别是：

Ⅰ，如果a＞b，并且b＞c，那么a＞c。只要a，c是两个不同（或不相等）的数，而b大于其中一个且小于另一个。那么由于几何思想的启示，无疑我们可以将此简明地说作：b落在两个数a，c之间。

Ⅱ，如果a，c是两个不同的数，那么有无穷多个不同的数落在a，c之间。

Ⅲ，如果a是任何一个确定的数，那么数系R的所有的数落在两个类A₁和A₂之中，它们每个都含有无穷多个数；第一个类A₁由所有＜a的数α₁组成，第二个类A₂由所有＞a的数α₂组成；数a本身可以根据意愿算作第一类或第二类中的数，并且分别是第一类中的最大数或第二类中的最小数。在每种情形，数系R分划为两个类A₁，A₂都是使第一类中的每个数小于第二类中的每个数。

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