数学联邦政治世界观
超小超大

算术公理系统之:实数(四) (6-5)

其实这不对,1到(0,1)之间,还有比1小,同时又能大于或等于(0,1)中所有数的上界存在。要知道,从(0,1)到1是连续的(这一点如果不好理解,可以将1再加回到(0,1)区间,变成半闭区间(0,1]来看),(0,1)中必有一个数紧挨着1,这个数是0.999…998+0×ω,这个数再加一个0,就到下一个数1了,因此也可以将这个数表示成1-0(意即1的前一个数)。它就是比1小的数,并且它是(0,1)中的最大数,即大于或等于(0,1)中的所有数。所以1不是(0,1)的上确界,1-0才是。很显然,对于开区间的情况,所谓的上确界仍然是区间的上边界,仍然可以称之为“有上界则必有上边界”。

既然不论是闭区间还是开区间,所谓的“确界”最终指向的都是区间上的“边界”,那么是否可以考虑将“确界原理”更名为“边界原理”呢,即“有上界则必有上边界”、“有下界则必有下边界”?——明显这样的表述更为准确(注意,两者的内容实质是一致的)——估计数学家是不会同意的,因为原来的确界原理,对于闭区间来说,这个“确界”是落在区间上的,而对于开区间来说,这个“确界”数学家认为是落在区间外的,其实不是。但这个被认为是落在区间外的“确界”正好为极限概念的引入,留下一个几乎是量身订制的接口。

你想啊,先是认为(0,1)上没有最大数,(0,1)中的数只会向着1越来越大、越来越接近1,那么1不就正好是这个趋近过程的极限嘛。1对(0,1)来说既是确界,同时也是极限,是极限就可以自然接入关于极限的一整套理论和方法。如果把“确界”改成“边界”,意味着从0点到1点,可以连续地经过其间的每一个点,哪怕是无穷多个点;也可以在其间的任意一个点上停下来,每一个点都可以作为终点,于是就不存在无限趋近而不可达的过程。没有这样的过程当然就没极限什么事了,数学家们历时两三百年时间精心打造的极限理论,岂不是给废了,说废就废,他们能同意吗?

戴德金分割

整明白(0,1)区间身上发生的事情之后,再来整戴德金分割,就比较容易整清楚了。

戴德金分割,其关键就是“分割”。围绕分割展开的第一个问题是,对谁进行分割,分割的对象是什么?戴德金在1872年出版的《连续性与无理数》中开篇第1节就讲到有理数的性质,并依次列出了三条,分别是:

Ⅰ,如果a>b,并且b>c,那么a>c。只要a,c是两个不同(或不相等)的数,而b大于其中一个且小于另一个。那么由于几何思想的启示,无疑我们可以将此简明地说作:b落在两个数a,c之间。

Ⅱ,如果a,c是两个不同的数,那么有无穷多个不同的数落在a,c之间。

Ⅲ,如果a是任何一个确定的数,那么数系R的所有的数落在两个类A₁和A₂之中,它们每个都含有无穷多个数;第一个类A₁由所有<a的数α₁组成,第二个类A₂由所有>a的数α₂组成;数a本身可以根据意愿算作第一类或第二类中的数,并且分别是第一类中的最大数或第二类中的最小数。在每种情形,数系R分划为两个类A₁,A₂都是使第一类中的每个数小于第二类中的每个数。

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