算术公理系统之：实数（四） (6-4)

直线是由什么构成的?直线是由点构成的，是由点一个挨着一个构成的，直线上任意一点的周围都是点，并且点与点之间没有间隙。将数轴上的[0，1]区间放大来看。

0点的右侧是一个点，这个点对应的实数是0＋0，将0这个端点去掉之后，它就是接下来自然而然的端点；1点的左侧是一个点，这个点对应的实数可以简单表示为1－0（具体可以表示为0.999…998＋0×ω，即它是一个收敛到0.999…998的不可区分数，而0.999…998是1之前距离1最近的可区分数），将1这个端点去掉之后，它就是接下来自然而然的端点。将闭区间[0，1]同时去掉0和1这两个端点，注意哦，仅仅是这两个端点，其他的都不动，剩下的部分则同样是一个有着端点的闭区间，即[0＋0，1－0]。这个闭区间与所谓的没有端点的开区间(0，1)是同一个区间，这在示意图上肉眼可见。意思很明确，开区间(0，1)也是有端点的，它可以等价地转写成闭区间[0＋0，1－0]，其端点分别是0＋0和1－0。有端点就意味着它有上下边界，有最大最小数。那有没有转不了闭区间的开区间呢?

有的，那只能是无限区间，但这里讨论的[0，1]和(0，1)都是有限区间。对于这些有限区间，数学家们还没有可区分数与不可区分数的概念，并不知道实数是由可区分数加不可区分数构成的，未曾想数轴上还有像0＋0和1－0，这种既不是有理数也不是无理数的不可区分数的存在。正因为心中没数，数对应的点自然也没了，所以他们就误以为开区间(0，1)是没有端点的，是没有上下边界的，是没有最大最小数的。由此导致一系列错误结论地产生。

将区间[0，1]与(0，1)进行比较，前者有端点，后者没有端点，但是两者中都有0和1。对于前者[0，1]来说，0和1是端点，是上下边界，是最大最小数。那么对于后者(0，1)来说，0和1又意味着什么呢?

早在1817年，捷克数学家波尔查诺首先提出确界原理，这条原理被后世数学家认为是实数理论的基石。内容是说，对于一个非空区间，如果有一个数大于或等于该区间中的所有数，这个数称为该区间的上界，那么从这个数到该区间中的所有上界中必有一个最小上界，称为上确界，即所谓“有上界则必有上确界”。反过来说，如果有一个数小于或等于该区间中的所有数，这个数称为该区间的下界，那么从这个数到该区间中的所有下界中必有一个最大下界，称为下确界，即所谓“有下界则必有下确界”。

通过确界原理来看刚才的0和1，仅以1为例，0就不展开了。

1大于或等于区间[0，1]中的所有数，所以1是[0，1]的上界，同时1也是该区间的上边界，也是该区间中的最大数。1到[0，1]之间没有其他数，所以1就是[0，1]的上确界。对于这种闭区间的情况，所谓的上确界就是区间的上边界，可以称之为“有上界则必有上边界”。

而1大于或等于区间(0，1)中的所有数，所以1是(0，1)的上界，这个没问题。由于区间(0，1)被认为不存在上边界，即(0，1)中的数只会向着1越来越大，越来越接近1，就是没有最大数。1到(0，1)之间，数学家们找不到其他数，所以就误以为1是(0，1)的上确界。

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