算术公理系统之：实数（四） (6-3)

三层实数赢，赢在点与0在最底层的联姻，点的几何性质与0的算术性质有着惊人的一致，这就是天造地设的夫妻相，可遇而不可求。它们结合之后，也好得没话说，点到哪里0就到哪里，线有多长数就有多大。通常实数输，也就输在这个起点上。虽然它追求的目标也是有一个点相应就要有一个数，但它不是从点与0的对应开始，而是从自然数开始，通过数系扩张来实现对直线上点的覆盖。要知道这是很难的，一头一尾，两处都难。

开头的自然数从哪里来?——最省事的回答，自然数是上帝创造的，一句话就完了。当然作为数学家不能这么轻易甩锅，他们给出了两套方案。一套是为自然数设定自然数公理，以皮亚诺公理为代表；一套是构造抽象的集合，以集合的基数来指称自然数，始作俑者是集合论之父康托。这两套方案能够准确回答自然数从哪里来吗?

皮亚诺公理的一个核心概念是“后继数”，在将“后继数”限定理解为“＋1”运算之后，从“0”开始，0是一个自然数，0的后继数也是自然数，即0＋1＝1；1的后继数也是自然数，即1＋1＝2；…。依此不断地进行后继运算，就能不断地生成自然数。但这个纯粹的“＋1”运算终究是得不到无穷数的。也就是说，对于自然数本身有无穷多这个事实，它是不能给予定量描述的。

至于康托的方案，只要深刻理解了数的抽象性，知道它是不依赖于任何他者而独自存在的数学实体，跟集合没有半毛钱关系，你就明白集合的基数只能算是自然数的一个应用实例，只不过它比较抽象而已。一个实例当然说明不了自然数的本体，如同一个苹果说明不了什么是自然数1，两只耳朵也说明不了什么是自然数2。数学家们也知道确实说明不了，干脆不说明，在康托朴素集合论之后的公理化集合论中，数学家们拿出一条公理，直接规定：存在一个包含所有自然数的集合，并且它有无穷多个元素，称之为“无穷公理”。这等于变相承认自然数是上帝创造的，人类在自然数面前无所作为，唯一能做的就是以公理之名承认它存在、承认它有无穷多，然后便可以安心地使用它。总之，锅还是甩出去了。

两套方案都不尽如人意，这个问题确实很难，所以也不必苛责数学家。既然数学家都能安心地使用自然数，我们就更没有理由担心了，拿来用就行。自然数往后，引入减法，就能将自然数系扩张到整数系；整数往后，引入除法，就能将整数系扩张到有理数系。有理数往后，数学家们认为只要想办法把无理数包含进来，就能将有理数系扩张到实数系。这又是一个天大的难题，数学家们为此也是抓破脑袋想尽办法，其中尤为著名的是戴德金分割。

开区间与确界原理

在进入戴德金分割讨论之前，我们先来看这么一个问题。

考察实数轴上的一小段区间[0，1]，这是一个有限集，有上下边界，上边界为1，下边界为0；或者换种说法，它有最大数，最大数为1，有最小数，最小数为0。这样的区间一般称为闭区间。就着这个闭区间，我们将0和1这两个端点去掉，注意哦，仅仅是这两个端点，其他的都不动，结果变成了一个没有端点的开区间，记作(0，1)。[0，1]与(0，1)相比，前者包含0和1，后者不包含，这是它们唯一的区别。那么问题就是开区间(0，1)有上下边界吗，或者说它有最大数、最小数吗，又或者说它真的没有端点吗?——老话说“慈母手中线”，难道慈母剪掉一个线头，手中的线就没有头了吗，没有头的线是什么样子的?——倘若果真如此，那就非常诡异和耐人寻味了。

其实不用犹豫和迟疑，本着常识就可以回答：有。

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