算术公理系统之：实数（四） (6-2)

试想线段上的一个实数z，它有lg∞－1位小数。将它的一半给x，另一半给y，然后将x、y归并为一个坐标P(x，y)，再根据这个坐标在平面上找到相应的点。按理说，z有lg∞－1位小数，x和y也应该有lg∞－1位小数。但是它们从z那里分得的小数位数只有(lg∞－1)/2，意味着只有前面一半，后面一半只得用0来填充。也就是说，从线段上的点Q(z)映射到平面上的点P(x，y)，这些被映射的点，它们的坐标x、y的小数部分的后半段都是0，于是那些后半段不是0的点就统统映射不到了。所以从线段到平面的映射，不是一个满射。

再看从平面上的点向线段上的点进行映射。为了避免不易察觉的遗漏和重复，可以先将平面上的一部分与线段一一对应。

先将正方形底边上的所有点一一映射到右边的线段上了，即平面上的点P(z，0)与线段上的点Q(z)一一对应。映射完之后，再来映射平面上剩下的其他点。对于这些点P'(x，y)，其中0≤x≤1，0＜y≤1，还是按照康托的操作将x、y的小数部分错位相合，得到的一个无穷小数z。这个z是否仍然在线段上，并且没有被映射过呢?

正方形底边的长度为1，与右边线段的长度为1，这两个1是相同的度量单位。底边线段有多少个点，右边线段就有多少个点，它们之间一一对应是完全没有问题的，并且不存在遗漏或者重复。也就是说从P(z，0)映射到Q(z)是满射，那么，接着从P'(x，y)映射到Q(z')。x有lg∞－1位小数，y也lg∞－1位小数，将两者的小数部分错位相合，得到的实数z'就应该有2(lg∞－1)位小数，看着就比原来的z多一倍的小数位数。但有效的仍然只是前面靠近小数点的lg∞－1位小数，后面的lg∞－1位小数无效，可以弃而不计。那么考察这个z'的有效部分，就和原来的z没有什么不同，都是lg∞－1位小数，每位小数都是0－9之间的某个数字，它的值必定出现在下面这张列表之中：

0.000…000

0.000…001

0.000…002

…

0.999…998

0.999…999

这张列表就是0到1之间的所有无穷小数，它在从P(z，0)到Q(z)的映射中，就已经被全部映射过了，后面继续从P'(x，y)到Q(z')进行映射，结果就只能是重复映射。所以，从平面到线段的映射，不是一个单射。

既然从平面到线段不是一个单射，从线段到平面又不是一个满射，既不是单射，又不是满射，哪来的一一对应呢?或许是康托大意了，以为只要能将平面上的点映射到线段上，将线段上的点映射到平面上，就完事了，没考虑过这个映射可能存在重复或者遗漏。可想而知，基于同样的方法去证得3维，4维，…，n维，乃至无穷维的实数均与1维的实数能够一一对应，都是靠不住的。

新旧观念的较量

三层实数代表一种新实数观，而通常理解的有理数加无理数则是一种旧实数观，新旧之间，不可避免终有一战。三层实数对阵一层实数，三打一，何况有理数加无理数是否构成一层能够完全覆盖一条直线的实数，还得另说。并且三层实数中的显实数，是完全包含有理数加无理数的，也就是说，通常实数有的三层实数都有，通常实数能做的三层实数都能做。所以明眼人一看就知道，这一战打不打，输赢已定胜负已分。

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