算术公理系统之：实数（四） (6-1)

z的小数部分，所有的奇数位就是原数x小数部分的数字，所有的偶数位就是原数y小数部分的数字。这个操作只针对小数部分，并且不产生进位，使得整数部分没有任何变动，还是0，所以0≤z≤1，z仍在区间[0，1]上，根据它肯定能在右边线段上找到一个相应的点。于是一个平面上的任意一点，通过这个操作，都可以映射到一条线段上的一点，即P(x，y)→Q(z)，2维对上了1维。那么这个操作的逆操作，由1维去对2维，也是可行的。假设线段上的一个点Q(z)：

z＝0.c₁c₂c₃c₄c₅c₆ . . .

将z中小数部分的所有奇数位摘出来，并令为x，

x＝0.c₁c₃c₅ . . .

剩下的所有偶数位则令为y，

y＝0.c₂c₄c₆ . . .

然后把x、y组合成一个二维坐标P(x，y)，循着这个坐标必然可以在左边平面上找到一个相应的点。于是一条线段上的任意一点，通过这个操作，都可以映射到一个平面上的一点，即Q(z)→P(x，y)，1维对上了2维。

综合以上两点，康托得出结论说，2维的实数跟1维的实数可以一一对应。

有了前面一系列铺垫，我们已经能够做到对无穷的对象进行精确度量，所以只要简单算一下就知道康托的证明是有问题的。闭区间[0，1]当中，即在0到1之间的所有可区分数是∞/10个，算上不可区分数，一共是∞²/10个。这个数就是右边那条线段上所有实数的数量。那么左边平面上有多少个实数也是可以算出来的，相当于是求正方形面积，即

(∞²/10)×(∞²/10)＝∞⁴/100，

在数轴上将∞⁴/100和∞²/10标记出来，∞⁴/100肯定是在∞²/10后面，意即左边平面上的实数肯定比右边线段上的实数要多。无可否认∞⁴/100和∞²/10都是无穷数，在数值上它们是相等的，但在数序上∞⁴/100要后于∞²/10。这个差异通过“1对1”是可以准确反映出来的。但是康托为什么得出了一一对应，两者一样多的结果呢?

问题就出在那个将小数部分合并和分拆的操作上。

无穷小数的小数位数，尽管可以有无限多，但它的有效数位是有限的，也就是说

1 1 1 1

──，──，──，...，──，0，0，...

10¹ 10² 10³ 10ⁿ

这个递减的等比数列，一直递减下去，它一定会递减到0。或者说这个数列是收敛的，亦或者说这个数列是存在极限的。到0之后，就全是0了，位值为0的数位是无效的。前面我们已经计算过无穷小数的有效数位是lg∞－1，lg∞－1之后就是无效数位了。

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