算术公理系统之：实数（三） (6-1)

有些人可能还会有个疑问，就是在有穷自然数中：

1，2，3，…，ν

这个最大有穷自然数ν，假定它是真存在，从有穷构造有穷，总该没问题吧。那么从1开始加1，不断加下去，什么时候才能加到ν呢?——可以一直加下去，却永远也到不了ν，这个“永远”指的是逻辑上不可能。ν是最大有穷自然数，它是有穷自然数的上边界；而ν的下一个自然数就是最小无穷自然数α，α是无穷自然数的下边界。这两个边界的产生都依赖于一个数，即∞。

如果不认为∞是一个数，不把它放上数轴，仅仅是在一个没有∞的算术系统中，纯纯地靠着有穷数，是无论如何也构造不出∞的。没有∞，不仅无穷数的边界无从谈起，就连有穷数的边界也无从谈起。谁能想到，有穷的边界竟是由无穷来决定的，有穷数中的最大数竟是由无穷说有，它才有的，并不是足够多的有穷数相加或相乘就可以得到的。

或者理解为，在一个包含∞的算术系统中，由于有穷数的边界太过靠近无穷数，而无穷数的本数∞具有不可构造性，因此有穷数的边界也沾染上了这种不可构造性。所谓“沾染上”意即“具有”。正因为有穷数的边界具有不可构造性，那么数学家们尽可以通过算术运算构造各式各样的大数，像古戈尔、葛立恒数、TREE(3)，它们再大也不必担心会触碰到有穷数的边界，还可以继续构造更大的；又比如计算圆周率的小数位数，人类已经计算到多少万亿位了，还可以一直计算下去，没有到头的时候。只要在这些构造或计算过程中不直接、不实质性地出现无穷数即可。

无穷的不可构造性与没完没了的无限性确有几分相似，容易让人混淆，然而两者本质上是不同的。无穷作为数它是有限的，但这个“数”只能由公理给出，你要使用就直接使用，别想着自己去构造一个。而无限是没有数的，只能笼统地说它是无穷的，或者借助整体与部分相等来判定一个集合是否是无限集。

第一步标记0，第二步标记∞，第三步标记1，只须三步在直线上标记好这三个关键数字，就可以将一条直线变为一条确定的数轴。数轴上所有自然数确定了，那么围绕在自然数周围，负责填满自然数与自然数之间所有间隙的实数应该也随之确定了。由于0到1之间有多少实数，1到2之间就有多少实数，2到3之间就有多少实数，…，并且它们之间存在某种对称性，所以没必要一上来就是整条数轴上的所有实数，不妨只截取0到1之间这一小段区间上的所有实数来分析一番。

0确定了，1确定了，那么0点到1点之间有多少个点也就确定了。一个点对应一个实数，所以有多少个实数也就确定了。由于点的特殊性质，点本身没有长度，它却可以构造出有长度的线，为了适应这种情况，实数分化出了可区分数与不可区分数。0到1之间是一段有长度的线，因此线上分布的必然是可区分数和不可区分数相交错的实数。我们通常所说的有理数加无理数，应该只是其中的可区分数部分，因为此前数学家还没有这个觉悟，还没有可区分数与不可区分数的概念。没有这个概念将造成什么严重后果，后面会具体讲到。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。