算术公理系统之：实数（二） (5-5)

很显然，这里的b不能是无穷数，一旦代入无穷数，这个性质就玩不转了。当然这不是重点，我们重点要讲的是：

将na＞b两边同除以b，即n(a/b)＞1，令x＝a/b，则nx＞1。

这是阿基米德性质的一个等价形式，意思是说对于任意一个大于0的实数x，不论它多小，都能找到一个自然数n，使得nx＞1。或者再进一步转换成：n＞1/x，即不论x多小，都存在一个自然数n大于x的倒数。从经验上看这似乎是对的，当x＝0.1，0.01，0.001，…，则n可以是11，101，1001，…。可以想见，当x小到0，即x＝0，则1/0＝∞，∞不是自然数，所以要求x必须大于0。既要大于0，又要尽可能的小，这不就是无穷小β₁嘛。令x＝β₁，那么其倒数1/β₁是多大呢?

如果认为∞不是数，这个问题或许还不好回答。但是现在已经将∞作为一个具体的数放上了数轴，并且知道1/0＝∞。而无穷小是离0最近的一个可区分数，那么其倒数1/β₁就应该是在∞之前离∞最近的一个可区分数。

∞不是自然数，其后更不会再有自然数，∞之前的ω就是最大自然数。而处在ω和∞之间的无穷小的倒数比最大自然数ω还大，即ω＜1/β₁＜∞，那么上哪去找一个大于1/β₁的自然数呢?如果找不到，是否也就意味着一度被当作公理来使用的阿基米德性质也并不总是有效呢?

当然这里存在一个问题，一旦进入无穷领域，所有无穷数都等于∞，也就是说除了∞是一个可区分数，其他无穷数都是以∞为本数的不可区分数。但是从有穷过渡到无穷是连续的，按照自然数的构造逻辑，从1开始加1，一直加到ν，都是有穷数，也都是可区分数。ν再加1就到无穷数了，即ν＋1＝α，α是最小无穷数，并且α＝∞，此后所有的数也都等于∞。如果ν是可区分的，那么由ν加1得到的α就不可区分了吗?

在这里我们仍然认为它是可区分的，这种可区分性是延续了有穷数的可区分性。于是从α到∞之前的这部分数就有了双重性质，这种双重性质使得我们在无穷领域讨论自然数更为方便。因此这部分可区分数在逻辑层上的投影就可以标记为β，当然也可以是∞'。

α，α＋1，α＋1＋1，…，ω

从α开始加1，一直加到ω，从α到ω就是全体的无穷自然数部分。这部分数其实都是不可区分数，它们的值都等于∞，对于不可区分数，需要从数序上进行区分。我们说α＜α＋1，准确地理解应该是α前于α＋1，即α⊰α＋1。前面说到无穷小的倒数比最大自然数ω还大，其实指的也是ω前于1/β₁，即ω⊰1/β₁。找一个比1/β₁还大的自然数，意即要到1/β₁的后面去找自然数，这显然是不可能的，因为ω已经是最后一个自然数，其后再无自然数。

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