算术公理系统之：实数（二） (5-4)

Sₙ＝1＋2＋3…＋n＝───，

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这个公式有效的前提是n为有穷数，它只能求有穷项自然数列之和，一旦超出有穷项出现无穷数，求出来的结果都是∞，根本用不着它费劲去算。问题是n要多有穷呢?前面提到，有穷自然数中有一个最大有穷自然数ν，它加1就到无穷数α了，即ν＋1＝α，而α＝∞。如果n取到最大有穷自然数ν的话，即n＝ν，那么Sₙ肯定到∞了。如果n取ν的前一个自然数呢，Sₙ还是∞；再前一个自然数呢，Sₙ还是∞；…。结果都是∞，那还有什么意义，所以我们在使用这个公式时不仅要确保n是有穷数，还要确保Sₙ也是有穷数。

再比如一个关于无限的证明，即证明素数有无限多，通常用反证法：

首先假设存在一个包含有限个素数的集合P＝{p₁，p₂，. . .，pᵣ}，这个集合是有限的，它的上边界为pᵣ，下边界为p₁，有确定上下边界的集合即为有限集。然后将P中的所有元素相乘再加1，得到一个新数N，即N＝p₁p₂ . . . pᵣ＋1。现在问N是素数还是合数?

如果是素数，那么N就不同于P中的任何一个元素，N是P之外的一个素数。P是有限的，明显一个有限的集合包含不了所有素数，那么素数就应该是无限的。

如果是合数，则假设p是N的一个素因子，即p是素数，并且p除N没有余数，那么p包含在P之中吗?如果p是其中的任何一个元素，那么p除N的余数都应该是1，这与p是N的一个素因子的假设矛盾。也就是说，如果p是N的一个素因子的话，它就一定不在P之中，而在P之外。即再次证明一个有限的集合包含不了所有素数，素数应该是无限的。

这是一个被奉为经典的证明。它非常巧妙地绕开了对所有素数的直接穷举，没有像2，3，5，7，11，…这样一个一个将素数全列出来。而是假设存在一个包含有限个素数的集合，然后通过集合中的所有元素构造出一个新素数，可以想见这个新素数是大于此前所有素数的。也就是说它做到了这样一件事情：你任给一个素数，我都能找到一个比这个素数更大的素数。这完美契合了自然数的性质，自然数是无限的、是没完没了的，你任给一个自然数n，我都能找个一个比它更大的自然数n＋1。自然数不存在最大自然数，因此素数也不存在最大素数。在正方向上，自然数和自然数中的素数都是无限的。

同样，这个证明要想有效，前提仍然是有穷数。一旦涉及无穷数，站在无穷数的视角去看，这个证明仍然存在漏洞。可以假设最大有穷自然数ν就是一个素数，将它作为有限集P的上边界，即令pᵣ＝ν。那么再将P中的所有素数相乘并加1，得到的N就是一个无穷数，因为ν加1就已经是无穷数，何况还要乘一大堆数再加1呢。而对于所有无穷数，是没有奇数偶数之分，没有素数合数之分，甚至没有整数小数之分的。反过来说，一个无穷数既可以是奇数也可以偶数，既可以是素数也可以是合数，既可以是整数也可以是小数。那么假如N是合数，p是N的一个素因子，但此时P中的任何一个元素都可以是N的一个素因子，p竟可以包含在P之中。你别看N＝p₁p₂ . . .pᵣ＋1，就以为N分别被p₁，p₂，. . .，pᵣ除余数皆为1，是绝对真理。到了无穷领域，作为无穷数，N分别被它们除，都可以整除，余数都可以为0。要知道∞/2与(∞＋1)/2是相等的。

又比如阿基米德性质，这是在实数理论中经常用到的一条性质。它的一般表述是：

对于任意的两个实数a、b，若b＞a＞0，则必然存在一个自然数n，使得na＞b。

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