算术公理系统之：实数（二） (5-3)

全体自然数从1开始，到ω结束，1是有穷数，ω是无穷数，从1到ω就是从有穷到无穷。那么可以想见，有穷数和无穷数分界的地方，就必然存在一个最大有穷自然数，记为ν，和一个最小无穷自然数（亦即最小无穷数），记为α，使得ν＋1＝α。也就是说在此处，有穷数加1就到了无穷数。我们不要被“无穷”两个字吓到，总以为没完没了才是无穷，总感觉从有穷到无穷之间存在一道不可逾越的鸿沟，一步怎么可能迈得过去呢?!

其实不用多想，只要遵循既定的逻辑直接推演即可。所有自然数都是通过加1得到，从有穷自然数到无穷自然数就必然存在一个过渡，这个过渡就必然是通过加1实现的，怎么实现呢?那不只有让一个有穷自然数加1得到无穷自然数，即ν＋1＝α，当中的ν肯定就是最大有穷自然数，因为再往后就是无穷数了；α肯定就是最小无穷自然数，因为再往前就是有穷数了。

所以将全体自然数列出来，再具体一些是这样：

1，2，3，…，ν，α，α＋1，α＋1＋1，…，ω。

这还是那个我们自信知道的自然数吗?自然数有无穷多，难道不应该是无穷无尽、没完没了的吗，怎么会有最大自然数呢?

无穷是无穷，但无穷不一定就无尽，无尽的是无限。无穷不等于无限，无限也不等于无穷，无穷和无限是两个概念。然而我们通常理解的无穷，是混淆了无限的无穷，一般称为潜无穷，潜无穷才会没完没了。什么是无限呢?最直观的理解就是，一条直线向两端一直延伸一直延伸，没有终点，无限即意味着没有终点。我们可以将无限就这么理解为一整条直线，而无穷则是这条直线上的一个点，并且这个点距离参照点，即0点，足够足够的远。但再远它也是一个点，无穷与无限的区别就是点与直线的区别。对应到数，那么一条直线就是一个抽象的数x，它包含了所有可能的数。直线上那个被标记为无穷的点，就是其中一个具体的数，即∞。

一旦将∞放上数轴，∞就成为一个“界”或者“限”，宛如水渠上的一道闸。从0点到∞点，就是一段有限的距离。对呀，它有下限，下限是0；有上限，上限是∞，两头都不是无限啊，尽管它的长度是无穷。这个无穷就是有限的无穷。既然从0点到∞点都是有限的，难道从0开始加1，加到∞，还能得出一列没完没了的、无限的自然数来吗?——不可能，∞明摆在那里就是自然数越不过去的“限”，有“限”就意味着存在终点。自然数必然止步于∞之前，那么∞往前退一步的∞－1，不就是最大自然数ω嘛，这个ω即是自然数的终点。

但是如果受极限思想荼毒太深的话，可能就转不过弯来，认为∞可以作为自然数的“极限”，自然数可以不断趋近于∞，但就是到不了∞。在这个不断趋近地过程中，自然数在不断地生成之中，因此只会有越来越大的自然数，不会有最大自然数，只会有更大，不会有最大。依据就是n＋1＞n，你任给一个自然数n，我都能找个一个比它更大的自然数n＋1。

n＋1＞n，这个不等式成立的前提条件是n为有穷数，它不能是无穷数。一旦到了无穷数，所有无穷数都等于∞，而∞＋x＝∞，∞加任何数都等于∞，自然有∞＋1＝∞，并不是∞＋1＞∞。这是完全不同于有穷数的运算性质。可以说有穷数和无穷数已经是两个完全不同的算术领域了，数学家非要坚持n＋1＞n，非要将自己局限在有穷领域来讨论数学问题，当然是可以的，只要他时刻清楚自己讨论的前提，并对自己的结论有充分十足的把握。

比如最简单的自然数列前n项求和公式：

(1＋n)n

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