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算术公理系统之:实数(二) (5-3)

全体自然数从1开始,到ω结束,1是有穷数,ω是无穷数,从1到ω就是从有穷到无穷。那么可以想见,有穷数和无穷数分界的地方,就必然存在一个最大有穷自然数,记为ν,和一个最小无穷自然数(亦即最小无穷数),记为α,使得ν+1=α。也就是说在此处,有穷数加1就到了无穷数。我们不要被“无穷”两个字吓到,总以为没完没了才是无穷,总感觉从有穷到无穷之间存在一道不可逾越的鸿沟,一步怎么可能迈得过去呢?!

其实不用多想,只要遵循既定的逻辑直接推演即可。所有自然数都是通过加1得到,从有穷自然数到无穷自然数就必然存在一个过渡,这个过渡就必然是通过加1实现的,怎么实现呢?那不只有让一个有穷自然数加1得到无穷自然数,即ν+1=α,当中的ν肯定就是最大有穷自然数,因为再往后就是无穷数了;α肯定就是最小无穷自然数,因为再往前就是有穷数了。

所以将全体自然数列出来,再具体一些是这样:

1,2,3,…,ν,α,α+1,α+1+1,…,ω。

这还是那个我们自信知道的自然数吗?自然数有无穷多,难道不应该是无穷无尽、没完没了的吗,怎么会有最大自然数呢?

无穷是无穷,但无穷不一定就无尽,无尽的是无限。无穷不等于无限,无限也不等于无穷,无穷和无限是两个概念。然而我们通常理解的无穷,是混淆了无限的无穷,一般称为潜无穷,潜无穷才会没完没了。什么是无限呢?最直观的理解就是,一条直线向两端一直延伸一直延伸,没有终点,无限即意味着没有终点。我们可以将无限就这么理解为一整条直线,而无穷则是这条直线上的一个点,并且这个点距离参照点,即0点,足够足够的远。但再远它也是一个点,无穷与无限的区别就是点与直线的区别。对应到数,那么一条直线就是一个抽象的数x,它包含了所有可能的数。直线上那个被标记为无穷的点,就是其中一个具体的数,即∞。

一旦将∞放上数轴,∞就成为一个“界”或者“限”,宛如水渠上的一道闸。从0点到∞点,就是一段有限的距离。对呀,它有下限,下限是0;有上限,上限是∞,两头都不是无限啊,尽管它的长度是无穷。这个无穷就是有限的无穷。既然从0点到∞点都是有限的,难道从0开始加1,加到∞,还能得出一列没完没了的、无限的自然数来吗?——不可能,∞明摆在那里就是自然数越不过去的“限”,有“限”就意味着存在终点。自然数必然止步于∞之前,那么∞往前退一步的∞-1,不就是最大自然数ω嘛,这个ω即是自然数的终点。

但是如果受极限思想荼毒太深的话,可能就转不过弯来,认为∞可以作为自然数的“极限”,自然数可以不断趋近于∞,但就是到不了∞。在这个不断趋近地过程中,自然数在不断地生成之中,因此只会有越来越大的自然数,不会有最大自然数,只会有更大,不会有最大。依据就是n+1>n,你任给一个自然数n,我都能找个一个比它更大的自然数n+1。

n+1>n,这个不等式成立的前提条件是n为有穷数,它不能是无穷数。一旦到了无穷数,所有无穷数都等于∞,而∞+x=∞,∞加任何数都等于∞,自然有∞+1=∞,并不是∞+1>∞。这是完全不同于有穷数的运算性质。可以说有穷数和无穷数已经是两个完全不同的算术领域了,数学家非要坚持n+1>n,非要将自己局限在有穷领域来讨论数学问题,当然是可以的,只要他时刻清楚自己讨论的前提,并对自己的结论有充分十足的把握。

比如最简单的自然数列前n项求和公式:

(1+n)n

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