算术公理系统之：实数（二） (5-2)

如果标记了0和1，同时也标记了∞，那么从1开始向着∞，不断加1，它就一定可以加到∞。从∞往后，还可以继续加1，∞＋1，∞＋1＋1，…，可以一直加下去，但得到不再是自然数，它们属于后无穷数，是以∞为本数的不可区分数。从1开始到∞之前的ω，属于自然数，这个“自然数”包括两部分，即有穷自然数部分{1，2，3，…，ν}，和无穷自然数部分{α，α＋1，α＋1＋1，…，ω}。按理说，无穷自然数都是无穷数，在∞之前，属于前无穷数，它们是以∞为本数的不可区分数。而且它们的运算性质是n＋1＝∞，并不满足我们对自然数的通常理解，自然数都是n＋1＞n的，那为什么还要把这些数归为自然数呢?

因为我们对自然数还有一个固有认知，即自然数是有无穷多的。千百年以来，无穷多的自然数承载着我们对无穷最直观的理解和想象，很多数学概念都是建立在自然数有无穷多的基础上的，比如可数无穷和不可数无穷。如果说自然数只有有穷个，那么很多重要的数学概念可能就没了，搞不好人们的信仰都要崩塌，以致西帕索斯的悲剧再次上演。所以只要条件允许，顾及一下人们的信仰还是有必要的。但是没有数就没有计数，我们用自然数去给自然数的个数计数，如果确定说自然数有无穷多个，那么就必须有一个自然数是无穷数，才能得出自然数有无穷多的计数结果。不妨看一下这个计数过程：

对自然数集从1开始进行计数：

{1}，计数结果是1；

{1，2}，计数结果是2；

{1，2，3}，计数结果是3；

……

对此更简洁直观地表述是：

{1，2，3，· · ·，n}

︸

个数为n

很显然，像这样排列的自然数集，其中的最大自然数n，直接就意味着集合中自然数的个数n。按照这个逻辑，自然数想要有无穷多个，就必然要求自然数集中有一个自然数是无穷数。但数学家们却坚信，任意一个自然数都是有穷的，不会是无穷的，而整个自然数集却是无穷的，这个信念就导致不存在一个可以给无穷集计数的自然数，所以才有康托顶着众人的指责和谩骂也要引入阿列夫数，来解决无穷集如何计数的问题，因为他心里清楚，有数才能计数啊。

其实只要在数轴上标记了∞，自然数中有无穷数是一个容易推出的结论。

由于1×∞＝∞，将其展开为加法，即：

1＋1＋1＋…＋1＝∞，将这个式子看作无穷级数，对它分部求和，得到的就是这样一列数：

1，2，3，…，∞。

首先明确∞是一个先于所有自然数而存在的数，它理所当然不是自然数，那么∞之前的就应该是全体自然数。或者说，自然数是从1开始不断加1，加到∞为止，在∞之前得出的所有数。这是一个持续的过程，没有间断。那么在∞之前，就必然存在一个数，记为ω，它加1，就得到∞，即ω＋1＝∞。ω就是最大自然数，它是一个无穷数，是一个收敛到∞的不可区分数，它就代表着全体自然数的个数。现在我们可以清晰地回答自然数有多少个?——ω个。

将全体自然数列出来：

1，2，3，…，ω。

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