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算术公理系统之:实数(二) (5-2)

如果标记了0和1,同时也标记了∞,那么从1开始向着∞,不断加1,它就一定可以加到∞。从∞往后,还可以继续加1,∞+1,∞+1+1,…,可以一直加下去,但得到不再是自然数,它们属于后无穷数,是以∞为本数的不可区分数。从1开始到∞之前的ω,属于自然数,这个“自然数”包括两部分,即有穷自然数部分{1,2,3,…,ν},和无穷自然数部分{α,α+1,α+1+1,…,ω}。按理说,无穷自然数都是无穷数,在∞之前,属于前无穷数,它们是以∞为本数的不可区分数。而且它们的运算性质是n+1=∞,并不满足我们对自然数的通常理解,自然数都是n+1>n的,那为什么还要把这些数归为自然数呢?

因为我们对自然数还有一个固有认知,即自然数是有无穷多的。千百年以来,无穷多的自然数承载着我们对无穷最直观的理解和想象,很多数学概念都是建立在自然数有无穷多的基础上的,比如可数无穷和不可数无穷。如果说自然数只有有穷个,那么很多重要的数学概念可能就没了,搞不好人们的信仰都要崩塌,以致西帕索斯的悲剧再次上演。所以只要条件允许,顾及一下人们的信仰还是有必要的。但是没有数就没有计数,我们用自然数去给自然数的个数计数,如果确定说自然数有无穷多个,那么就必须有一个自然数是无穷数,才能得出自然数有无穷多的计数结果。不妨看一下这个计数过程:

对自然数集从1开始进行计数:

{1},计数结果是1;

{1,2},计数结果是2;

{1,2,3},计数结果是3;

……

对此更简洁直观地表述是:

{1,2,3,· · ·,n}

个数为n

很显然,像这样排列的自然数集,其中的最大自然数n,直接就意味着集合中自然数的个数n。按照这个逻辑,自然数想要有无穷多个,就必然要求自然数集中有一个自然数是无穷数。但数学家们却坚信,任意一个自然数都是有穷的,不会是无穷的,而整个自然数集却是无穷的,这个信念就导致不存在一个可以给无穷集计数的自然数,所以才有康托顶着众人的指责和谩骂也要引入阿列夫数,来解决无穷集如何计数的问题,因为他心里清楚,有数才能计数啊。

其实只要在数轴上标记了∞,自然数中有无穷数是一个容易推出的结论。

由于1×∞=∞,将其展开为加法,即:

1+1+1+…+1=∞,将这个式子看作无穷级数,对它分部求和,得到的就是这样一列数:

1,2,3,…,∞。

首先明确∞是一个先于所有自然数而存在的数,它理所当然不是自然数,那么∞之前的就应该是全体自然数。或者说,自然数是从1开始不断加1,加到∞为止,在∞之前得出的所有数。这是一个持续的过程,没有间断。那么在∞之前,就必然存在一个数,记为ω,它加1,就得到∞,即ω+1=∞。ω就是最大自然数,它是一个无穷数,是一个收敛到∞的不可区分数,它就代表着全体自然数的个数。现在我们可以清晰地回答自然数有多少个?——ω个。

将全体自然数列出来:

1,2,3,…,ω。

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