算术公理系统之：实数（二） (5-1)

首先在直线上任取一点标记为0，同时想象在这个0点处作垂线，垂线与逻辑层相交的位置出现一个0，与始基层相交的位置也出现一个0。即度量层的0，在逻辑层上的投影是0，在始基层上的投影也是0。按理说，只要这个0点确定了，那么始基层上的所有实数也都确定了。因为始基层上的实数除了一个可区分数0，其他的都是不可区分数，在正方向上的就是0'，在负方向上的就是－0'。只要0点的位置确定了，那么其他点相对于0点的位置都是确定的，于是这些点对应的不可区分数也就确定了。始基层确定了，剩下需要关注的就是度量层和逻辑层。

第二步是在距离0点足够远的地方选取一点标记为∞，同时想象在这个∞点处作垂线，垂线与逻辑层相交的位置出现一个∞。即度量层的∞，在逻辑层上的投影是∞。∞由算术公理给出，借着算术公理可以从所有数当中将它区分出来的，所以它也是一个可区分数。这个数的算术性质极为奇特，∞＋x＝∞，表现出极强的吞噬性。它将周围能吞噬的数都吞噬了，并消化掉它们值性，使之无差别地都收敛到∞，变成无穷数。∞之前的称为前无穷数，∞之后称为后无穷数。前无穷数往前就是有穷数，有穷数和无穷数是紧挨着的，或者说是连续的，从有穷到无穷仅是一步之遥，没有什么不可逾越的鸿沟。

度量层，顾名思义，这一层实数要实现的一个基本功能是度量，它提供的是一个度量工具。作为一个完备的度量工具，它必须得有自己的度量范围和基本单位。0为下限，∞为上限，0到∞之间就是它的度量范围。0和∞通过前面两步已经标记好了，第三步是标记1，1就是一个基本的度量单位。巧的是，0、∞和1在算术公理中是三个特别规定的原始数，它们为一切数的产生和展开提供最原始的素材。并且它们都具有不可构造性，只能由公理来规定。该性质反映到度量工具上，它的上下限以及度量单位，这些基本参数的初始值就只能由人去直接设定，即在直线上的一个适当位置选取一点进行标记。只要标记好0、∞和1这三个点，就可以对这条直线上的任意一段长度进行准确度量。

我们知道1＞0，大多少呢?——只要在0点右侧的一个适当位置选取一点标记为1，这一点到0点的距离是多少，就表示1比0大多少。同样地，在1点处作垂线，垂线与逻辑层相交的位置出现一个可区分数β，表明1是一个可区分数。

有了1，以及0到1之间的距离，剩下的所有实数就用不着人去一个个标记了，它们会自然涌现出来。从1开始向着∞，不断加1，加到∞，在直线上相应地就是以0到1之间的距离为单位进行不断移动，从1移动到∞，其间经过的那些点所对应的加1所得的结果，就是所有自然数。自然数都是可区分数，所以它们在逻辑层上的投影都是可区分数β。

∞是一个不可构造之数，意味着我们不能通过任何构造的方式，将它从无到有地构造出来，它只能由公理定义。在没有定义之前，可以说它是不存在的。在一条数轴上，如果只标记了0和1，没有标记∞，那么从1开始向着正方向，以0到1之间的距离为单位，不断地移动、不断地加1，可以这样一直做下去。但是它到不了无穷，得不出任何一个无穷数，得到的都是有穷数。没有数就没有度量，没有无穷数，它就没办法对无穷的长度进行度量。就像始基层的元实数，就一个0，然后不断地加0，它也能随着一条无限延伸的直线一直持续下去，但这样得到的数，根本就做不了任何度量。否则我们就不需要费劲巴拉地去造隐实数和显实数，有一个元实数就够了。

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