算术公理系统之：实数（五） (5-4)

A＝{x∈Q：x≤0或者x＞0且x²＜2}，

B＝{x∈Q：x＞0且x²＞2}。

戴德金的如意算盘就是，A、B两部分之间恰好有且仅有一个√2，或者说√2恰好就是两个有理数之间的间隙，这个间隙不是有理数，当然就是无理数了，补上所有这样的间隙，不连续的有理数自然就变成连续的实数了。但世上哪有那么多恰好，万一两个有理数之间恰好有三个或者更多的无理数呢，这连成片的无理数（比如像a，√2，b），你如何通过一个有理数分割来进行区分呢?——难，太难了，尤其对于宣称任意两个有理数之间还有无穷多个实数的人来说。

再来看实数公理，它由一组序公理，加一组域公理，再加一条确界原理构成。其中最关键的就是这条确界原理。一般认为有理数是满足序公理和域公理，唯一不满足的就是确界原理，而实数则是序公理、域公理和确界原理全都满足。实数连续，有理数不连续；实数满足确界原理，有理数不满足确界原理。因此，确界原理成了一个区分连续与不连续的重要规则。

但问题是，几乎所有数学家都跟戴德金一样，只看到了一个端点，没有看到另一个端点。对于一条连续的直线来说，以直线上的任意一点p作为分割点，将直线分割为A、B两部分。p是B的端点，而A不是没有端点，它的端点是p－0。p是A的上界，但不是它的上确界，A的上确界就是A的上边界，就是它的端点，就是p－0。所以，将p理解为A的上确界是错误的，也就是说，确界原理本身是正确的，但数学家们对确界原理的理解是错误的。正确的理解方式是“边界原理”，即有上界则必有上边界，有下界则必有下边界，“确界”最终指向的都是“边界”。这个错误之所以产生，归根结底是数学家们对直线连续性的认知存在偏差，都没有超出戴德金的认知水平。

同样地，从连续的A中挑出一些不连续的元素，不管是有穷多还是无穷多，构成一个集合A'，这个A'同样有上边界，同样满足边界原理或者说确界原理。就拿前例来说，以p＝√2为分割点的有理数分割，√2是A'的上界，但不是A'的上确界，上确界在A'中，我们不知道这个确界具体是多少，但可以肯定它是存在的，它就是比√2小同时又是距离√2最近的那个有理数。如果认为√2是A'的上确界，那只会错得更离谱。因为对于连续的对象，上界与上确界相差只有一个点，而对于不连续的对象，上界与上确界相差就远远不止一个点了。

有意思的是，如果将对有理数的分割，换成对自然数的分割，人们对上确界的取值便不会产生异议。还是以p＝√2为分割点，如果此时的A'为自然数集，那么A'的上确界毫无疑问就是1，1就是那个小于√2同时又是距离√2最近的自然数。没有人会认为√2是A'的上确界，因为这个上确界是我们肉眼可见的，而换作有理数我们就蒙了不知道了，但不知道不等于不存在。问题就是，自然数跟有理数同样不连续，如果真的是满足确界原理的就连续，不满足的就不连续，那么自然数也满足确界原理啊，它怎么不连续呢?实际上，确界原理根本不能区分连续与不连续，人们认为它能，也只不过是由于认知偏差造成的幻觉。

综合以上来看，现行实数理论，论模型，模型有问题；论公理，公理不靠谱。这仗还怎么打，都不用打，看明白之后，它自己就崩溃了，还是全面崩溃。好在数学家们对此是无知无觉，他们不觉得有什么问题，倒是觉得这实数理论已经是逻辑严密滴水不漏，堪称完美了，与人说起都是自信满满和无比荣耀。不管怎么说，有这种感觉总是好的。

相邻、连续和稠密

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