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算术公理系统之:实数(五) (5-5)

三层实数能轻松实现连续性,靠的是从连续到连续;而现行实数理论为实现连续性,它选择的道路是从离散到连续,或者从不连续到连续。相比于从连续到连续,从不连续到连续的难度自然更大,但不是不可能,它需要借助一个重要概念来过渡,即:相邻。

相邻就是两个元素之间没有同类元素,不相邻即为相间。以自然数为例,与2相邻的自然数是1和3,一个左边相邻,一个右边相邻。1和2之间,不再有自然数,所以称它们为相邻的两个自然数;而1和3之间,还夹着一个自然数,所以称它们为相间的两个自然数。

那什么是连续呢?连续本质上是一个距离概念。在直线上,距离一般定义为两点之间差值的绝对值,即|a-b|。那么连续是否就是两点之间的距离为0呢?在宏观上这么说没问题,但到了零观上就不准确了。我们把一条直线放大来看:

很显然,a和b连续,而a和c不连续。a和b连续,那么a和b之间的距离是多少?是一个0;a和c不连续,那么a和c之间的距离是多少?是两个0。因此,准确来说连续就是两点之间的距离为一个0。但是人们通常的计算是算不出一个0还是两个0的,算出来的都是0,也就是说在宏观尺度上我们区分不了a和b连续,而a和c不连续,从最终结果来看它们都连续。既然距离上有一个0和两个0之分,那么自然还有一个“零个0”。零个0应该就是重合了,而在直线上重合的两个点,可以认为是一个点,所以,连续度量的就是不重合的两点之间距离最接近的一种状态。进入这种状态意味着,连续的两点之间不再有其他的点,连续的两数之间不再有其他的数。

而相邻不关心距离,更像是一个集合概念,它就是从一个集合中直接选取最接近的两个元素。将“相邻”与“距离”结合到一起就能产生奇妙的作用。什么是连续?——连续就是相邻两点之间的距离为0——加上“相邻”这个限定词,就不用去区分距离上是一个0还是两个0了。那么一条直线它是连续的,就可以描述为:直线上任意相邻两点之间的距离为0。这样的描述就变得非常清晰和准确。

借助相邻去追问距离,就可以由不连续逼近连续。相邻两个自然数之间的距离是多少?是1,1大于0,所以它们不连续,它们之间一定还有其他数;相邻两个有理数之间的距离是多少?因为有理数和无理数在实数轴上是交错不均匀分布的,相邻两个有理数之间,可能夹着无理数,也可能没有夹无理数,如果是没有夹无理数,那么从一个有理数到下一个有理数的距离就是一个无穷小,无穷小是大于0,所以它们不连续,它们之间一定还有其他数;最后是实数,相邻的两个实数,对应的就是直线上相邻的两个点,这样的两个点就是标准的连续,距离为一个0,其间不会再有其他数,所以实数是连续的。从自然数到有理数到实数,从不连续到连续,这不就一举证得了吗,而且这逻辑步步推导下来,如丝般顺滑,不带一点卡顿。

但在现行实数理论中,相邻概念好像也就止步于自然数了,再往后的有理数、无理数,乃至实数,都没有相邻的说法。听说过“相邻的两个自然数”,没听说过有谁讨论“相邻的两个有理数”,“相邻的两个无理数”,或者“相邻的两个实数”如何如何的。是确确实实没有吗?

当然不是,是另一个概念的存在断绝了数学家们讨论相邻的可能,这个概念叫作“稠密”。

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