算术公理系统之：实数（五） (5-5)

三层实数能轻松实现连续性，靠的是从连续到连续；而现行实数理论为实现连续性，它选择的道路是从离散到连续，或者从不连续到连续。相比于从连续到连续，从不连续到连续的难度自然更大，但不是不可能，它需要借助一个重要概念来过渡，即：相邻。

相邻就是两个元素之间没有同类元素，不相邻即为相间。以自然数为例，与2相邻的自然数是1和3，一个左边相邻，一个右边相邻。1和2之间，不再有自然数，所以称它们为相邻的两个自然数；而1和3之间，还夹着一个自然数，所以称它们为相间的两个自然数。

那什么是连续呢?连续本质上是一个距离概念。在直线上，距离一般定义为两点之间差值的绝对值，即|a－b|。那么连续是否就是两点之间的距离为0呢?在宏观上这么说没问题，但到了零观上就不准确了。我们把一条直线放大来看：

很显然，a和b连续，而a和c不连续。a和b连续，那么a和b之间的距离是多少?是一个0；a和c不连续，那么a和c之间的距离是多少?是两个0。因此，准确来说连续就是两点之间的距离为一个0。但是人们通常的计算是算不出一个0还是两个0的，算出来的都是0，也就是说在宏观尺度上我们区分不了a和b连续，而a和c不连续，从最终结果来看它们都连续。既然距离上有一个0和两个0之分，那么自然还有一个“零个0”。零个0应该就是重合了，而在直线上重合的两个点，可以认为是一个点，所以，连续度量的就是不重合的两点之间距离最接近的一种状态。进入这种状态意味着，连续的两点之间不再有其他的点，连续的两数之间不再有其他的数。

而相邻不关心距离，更像是一个集合概念，它就是从一个集合中直接选取最接近的两个元素。将“相邻”与“距离”结合到一起就能产生奇妙的作用。什么是连续?——连续就是相邻两点之间的距离为0——加上“相邻”这个限定词，就不用去区分距离上是一个0还是两个0了。那么一条直线它是连续的，就可以描述为：直线上任意相邻两点之间的距离为0。这样的描述就变得非常清晰和准确。

借助相邻去追问距离，就可以由不连续逼近连续。相邻两个自然数之间的距离是多少?是1，1大于0，所以它们不连续，它们之间一定还有其他数；相邻两个有理数之间的距离是多少?因为有理数和无理数在实数轴上是交错不均匀分布的，相邻两个有理数之间，可能夹着无理数，也可能没有夹无理数，如果是没有夹无理数，那么从一个有理数到下一个有理数的距离就是一个无穷小，无穷小是大于0，所以它们不连续，它们之间一定还有其他数；最后是实数，相邻的两个实数，对应的就是直线上相邻的两个点，这样的两个点就是标准的连续，距离为一个0，其间不会再有其他数，所以实数是连续的。从自然数到有理数到实数，从不连续到连续，这不就一举证得了吗，而且这逻辑步步推导下来，如丝般顺滑，不带一点卡顿。

但在现行实数理论中，相邻概念好像也就止步于自然数了，再往后的有理数、无理数，乃至实数，都没有相邻的说法。听说过“相邻的两个自然数”，没听说过有谁讨论“相邻的两个有理数”，“相邻的两个无理数”，或者“相邻的两个实数”如何如何的。是确确实实没有吗?

当然不是，是另一个概念的存在断绝了数学家们讨论相邻的可能，这个概念叫作“稠密”。

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