算术公理系统之：实数（五） (5-3)

“如果直线上所有的点落在两个类中，使得第一类中每个点都在第二类的每个点的左边，那么存在一个而且只有一个点，它产生这个将所有点分为两类的分划，即它将直线分为两个部分。”

简单理解就是，以直线上的任意一点为分割点p，可以将该直线唯一确定地分割为A、B两部分，使得A中的每个点都在B中的每个点的左边。这个有错吗?没有错，但是它不全面，它漏掉了一个与分割点p点同样重要的q点，即紧挨着p点的前面一个点。直线是由点挨着点构成的，如果在分割之前，q点就是紧挨着p点的，那么分割之后，p点落在B中，作为B的端点；则q点必然落在A中，作为A的端点。

有端点则意味着，B中的元素都是大于等于p的，记为B≥p；A中的元素都是小于等于q的，记为A≤q。然而戴德金的描述只强调了一个点，即作为分割点的p点，说明他只看到了一个端点，没有看到另一个端点。p是B的端点，毫无疑问，那么A中就没有端点，没有端点是什么样子呢?就是将原本的端点q换成省略号，表示越来越或者无限地趋近于p点。

这时A中的元素都是小于p的，即A＜p，这里只能用“＜”而不能用“≤”。戴德金肯定是注意到了这一点，并且强化了这一点。他将这样的分割应用到有理数时就发现，如果以有理数为分割点p，则有A＜p，B≥p；如果跑到有理数之外，以无理数为分割点p呢，则应当有A＜p，B＞p。分割出现了肉眼可见的差异，戴德金称之为“分割现象”，并以此作为有理数和无理数的本质区别，演绎出了一整套分割理论。即在原本不连续的有理数基础上，通过分割在有理数的间隙上分割出无理数，从而实现有理数系向实数系的扩张。

连续直线在断开后只有一个端点，这只是戴德金个人片面的认知，实际上是有两个端点，实际上A＜p也可以等价地转写成A≤q，但是他不知道这些。显而易见的两个端点只注意到了一个端点，估计是一时疏忽大意了。基于这个片面认知，他看到的所谓“分割现象”，其实只是幻觉，并不是真实的存在。基于幻觉得出的结论当然是不靠谱的，所以对他的分割理论也不必当真。但问题是，戴德金当真了，戴德金之后的数学家也都当真了，并将其作为实数理论的一部分。

现行实数理论一般包含两部分，一部分称为实数公理，一部分称为实数模型。所谓实数公理，即以公理的方式给出的一组或者多组认为是实数应当满足的规则，这些规则是抽象的，并不是一个一个具体的实数。而实数模型则是一个构造实数的具体方法，它负责将实数一个一个地构造出来。戴德金分割就被认为是一种实数模型。作为一个实数模型，戴德金分割能构造出实数吗?——其实不能，它顶多是检验或者辨别不同类型的实数，但大家都认为他是在“构造”，那就“构造”呗。但要说戴德金分割可以构造出实数，也不准确，只能说它可以基于有理数构造出无理数，有理数要出现在无理数之前，并且不是通过分割得到的。戴德金更狠，他将这种构造称为“无理数的创造”。戴德金分割真的能唯一确定地构造出无理数吗?

其实不一定，这取决于一个先天存在的实数结构。比如随口说一个无理数，我们知道这个无理数附近紧挨着它的可区分数是有理数还是无理数吗?——不知道啊，我们压根不知道有理数和无理数在实数轴上具体是如何分布的。就说√2吧，假设紧挨着√2的左边有一个无理数a，接下去是一个有理数q；右边有一个无理数b，接下去是一个有理数p。然后以√2为分割点对实数轴进行分割，这一分割能确切锁定到一个√2吗?

通过有理数分割来构造无理数√2，一般是这么来定义A、B两部分的：

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