算术公理系统之：实数（五） (5-2)

这个就是戴德金分割最核心的内容，看着确实逻辑严密滴水不漏，它对吗?不对啊，这明显违背了确界原理，或者说边界原理。

边界原理是说，有上界则必有上边界，有下界则必有下边界。以任意一个实数p为分割点，将实数轴一分为二，分为A、B两部分，并且约定p总是落在B中。那么对于A来说，p就是A的上界，有上界则必有上边界，意味着A有上边界，这个上边界是q，前面已经说到q就是p的前一个数。即对于A中的任意一个数a，都有a≤q，q就是A中的最大数。

注意这个时候的A是小于p的全体实数，那么我们将A中的所有有理数标记出来，构成A的一个子集A'，p同样是A'的上界，有上界则必有上边界，所以A'同样有上边界。以p＝2为例，2是有理数，那么小于2并且距离2最近的那个有理数是多少?

可以不必把它找出来，只要指出它是存在的即可。因为我们还不知道有理数和无理数在实数轴上具体是如何分布的，是一个有理数接着一个无理数，一个无理数接着一个有理数这样均匀分布；还是两个有理数之间隔着多少个无理数，或者两个无理数之间隔着多少个有理数呢，我们不知道。只知道有理数和无理数以无穷小数的形式在数轴上有序地交错排列，那么顺着2往前找，是一定能找到有理数的。这第一个找到的有理数，就是小于2 并且距离2最近的那个有理数，记作q'。这个q'就是A'的上边界，即对于A'中的任意一个有理数a，都有a≤q'，q'就是A'中的最大数。

同理，当p＝√2时，顺着√2往前找，也是一定能找到有理数的。这第一个找到的有理数，就是小于√2并且距离√2最近的那个有理数，记作q'。这个q'就是A'的上边界，即对于A'中的任意一个有理数a，都有a≤q'，q'就是A'中的最大数。

看到了吧，不论p是有理数还是无理数，以它为分割点将实数轴分割为A、B两部分，A中的有理数都有最大数。同样的思路可以一并证得，此时B中的有理数也都有最小数。也就是说，不论怎么分割，都是A中有最大数，B中有最小数。或者更进一步来说：不论怎么分割，A中的任意一个非空子集它都有最大数，B中的任意一个非空子集它都有最小数。欸，这扶正后的戴德金分割就很符合确界原理了。或者说，戴德金分割本质上就是确界原理的一个具体实例，它以极为形象生动的方式将确界原理演绎了一遍。分割点p即为“界”，对于A来说是上界，有上界则必有上确界，并且不管A中的元素连续还是不连续；对于B来说是下界，有下界则必有下确界，同样也不管B中的元素连续还是不连续。

大概这才是正解，实数与直线一一对应，对着直线不论怎么分割，都分割不出有差异的结果，那么对着实数不论怎么分割，同样也分割不出有差异的结果。两者的步调竟然如此一致，说它们是绝配真不是浪得虚名。如果确实这样，当然就没办法去倒推分割点究竟是有理数还是无理数了。谁曾想戴德金分割不仅不能构造，连检验也检验不了。因此，戴德金设想通过分割，通过分割后有无最大最小数来辨别有理数和无理数的精美计划，也就破灭了。

用确界原理去批评戴德金，可以想见他必定不服气。虽然确界原理早在戴德金出生之前就已经提出，但波尔查诺这人没什么名气，他提出的确界原理以及其他研究成果都没有引起同时代人的注意。以致于戴德金在创作《连续性与无理数》时都没听说过波尔查诺这个名字，可能压根也不知道所谓的确界原理。以人家不知道的东西去批评人家，不厚道。那么，我们撇开确界原理，就说直线的连续性。戴德金对此是有过深入思考的，他得出的结论是：

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。