集合论 (3-3)

19世纪末20世纪初，人们发现了一系列集合论悖论，表明集合论是不协调的，这使得人们对数学推理的正确性和结论的真理性产生了怀疑，触发了第三次数学危机。为了克服悖论所带来的困难，人们开始对集合论进行改造，即对G.康托尔的定义定义加以限制，“从现有的集合论成果出发，反求足以建立这一数学分支的原则。这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来”（策梅罗语）。这就是集合论公理化方案。1908年，策梅罗提出第一个公理集合论体系，后经弗伦克尔和斯科朗的改进，称为ZF系统。ZF集合论承袭了康托尔集合论的全部成果，凡数学所需的一切有关集合运算、关系、映射的结果以及全部基数、序数的理论全都可以从ZF公理系统中演绎出来。ZF集合论又排除了康托尔集合论中可能出现的悖论。因此，在很大程度上弥补了康托尔集合论（与公理集合论相比较，人们把康托尔集合论称为朴素集合论）的缺点。当然，由于哥德尔第二不完全性定理，ZF系统作为包括自然数理论的一阶形式系统是不可能在其内部解决本身的无矛盾性问题的。这是一切这类系统的固有性质。

集合论的公理系统除ZF系统外还有多种，其中最常用的要算1925-1937年间形成的冯·诺伊曼、伯奈斯、哥德尔提出并完善的公理系统，称为NBG系统。已经证明，如果ZF公理系统是无矛盾的，则NBG公理系统也是无矛盾的（而且后者是前者的一个保守的扩张）。（见公理集合论）

虽然证明整个公理系统的无矛盾性已无意义，但关于公理系统中某一个别公理或某一假设的相对无矛盾性和相对独立性仍是重要的课题，其中选择公理与连续统假设与重要的地位，是集合论领域长期研究的课题。选择公理（AC）成为数学史上继平行公理之后最后争议的公理，包括AC的公理系统记为ZFC公理系统，以区别不包括AC的ZF公理系统。

后来，在AC和CH研究方面取得不少进展。1938年，哥德尔证明：从ZF推不出AC的否定，从ZFC推不出CH的否定，即AC对于ZF，CH对于ZFC是相对无矛盾的。1963年，科恩创立了著名的力迫方法，证明了AC对于ZF，CH对于ZFC的相对独立性，即从ZF推不出AC，从ZFC推不出CH。综合这两个成果，于是得出：AC在ZF中，CH在ZFC中都是不可判定的。这是20世纪最伟大的数学成果之一。科恩的力迫方法成为集合论研究的有力工具，此后许多年中，人们一方面推广和改进科恩的力迫方法，提出诸如迭代力迫、真力迫等新概念和新方法；另一方面则将这些方法应用于具体的数学领域，如拓扑学中，以证明该领域中的某些命题是不可判定的。此外，大基数问题、无穷组合论问题的研究亦有很大进展，20世纪70年代以来，决定性公理的研究与它们交织在一起，有新的发展。同时，人们还在寻找迄今尚未发现的与其他公理无矛盾的可信赖的新公理（CH或它的任一具体的否定都不具备这种资格），以期在更有效的途径上来解决连续统问题，这方面的工作成为当前集合论研究的主流。

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