集合论 (3-2)

从本质上看，集合论是关于无限集合和超限数的数学理论。G.康托尔创立集合论的卓越贡献之一，就是把实无限引入数学。他把适用于有限集的不用计数而判定两个集合大小的一一对应准则推广到无限集，此后一一对应方法成为典型的集合论方法。元素间能建立一一对应的集合称为等势集合，G.康托尔指出，无限集的特征就是它可与自己的一个真子集等势。他称与全体自然数N等势的集合为可数集，1873年他采用著名的对角线法，证明了全体实数的集合R不是可数集，因此无限集也是有差别的。1878年，他引入“集合的势”（后又称为基数）的概念，它既适用于无限集也适用于有限集，是“个数”概念的推广。G.康托尔把势定义为等势集合类共性的抽象，后来弗雷格与罗素改为等势类本身。1883年，G.康托尔应用对角线法证明了康托尔定理：一个集合S与它的幂集P(S)间不可能建立一一对应，P＝(S)≥＝S。这样，说明了在无限集之间还存在着无限多个层次。

1883年，G.康托尔开始研究有序集，特别是其中的良序集，他引入了序数概念来刻画良序集的结构。序数可以比较大小，而且任一序数之后，恰有一个在大小顺序上紧紧尾随的序数。因此，后来G.康托尔给出了序数的一种系统的表示法，相当于十进制之用于自然数。利用序数可以把良序集编号，并把数学归纳法推广到自然数以外去（见超限归纳法）。序数的研究加深了对基数的理解，1904年策梅罗证明了任一集合都可以良序化（良序定理），将基数等同于一个序数，这就解决了基数比较大小的问题。同序数一样，任一基数之后，甚至任一基数集之后，恰好有一个在大小顺序上紧紧尾随的基数。因此可以将所有超限基数按序数来编序，这就是所谓阿列夫的谱系

ℵ₀ ℵ₁ ℵ₂ . . . ℵω ℵω₊₁ . . .

（其中ℵ₀是最小无限集可数集的基数，ω是自然数集的序数），它可以无限延伸下去。超限序数和超限基数一起刻画了无限。它们所以还称为数，是因为它们都有自己的算术。与此同时，G.康托尔还给出了构造更大的集合的方法，就是前面所说的幂集构造法，用这一方法对阿列夫的谱系构造幂集，则得到“第二”阿列夫谱系ℵ₀ 2ℵ₀ 2²ℵ₀ . . .。对于这两个谱系的无限基数，1878年G.康托尔猜想：2ℵ₀＝ℵ₁。他猜测可以解释为实数集合的任意不可数子集合与实数集合等价。简单地说，就是关于直线上有多少点的问题。G.康托尔的这一猜测被称为连续统假设（CH），这一假设的证明至今没有完全得到解决，它已成为数学史上与费马大定理（1995年解决）、黎曼猜想（尚未解决）齐名的一大难题。1908年，豪斯多夫进一步猜测，对于任意序数a，有2ℵα＝ℵα₊₁ 成立。这个猜测后来被称为广义连续统假设。1938年，哥德尔证明了广义连续统假设不能为集合论的公理否证，这是集合论方面的一大突破性进展。

集合论之前的数学界只承认潜无限，集合论则引入了实无限，自然数不是一个一个地潜在地向无限变化，而是“一下子”以完成的姿态呈现在人们面前。用超限基数和超限序数刻画的无限集，都是实无限，因而一开始并不被数学界所完全接受。但是后来，从非欧几里得几何学的产生开始的对数学无矛盾性（相对无矛盾性）的证明把整个数学解释为集合论（见证明论、数学基数），集合论成了数学无矛盾性的基础，集合论在数学中的基础理论地位就逐渐确立起来。

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