代数学 (5-1)

摘自《数学史辞典新编》 杜瑞芝 主编 [P482]

代数学（algebra）数学中最重要的、基础的分支之一。代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。

代数学的西文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。该著作名为“al-Kitab al-Mukhtasar fihisab al-Jabr wa'l-mugabala”，原意是“还原与对消计算概要”。这本书传到欧洲后，简译为algebra，这就是代数学西文名称的来源。清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后改译为《代数学》（李善兰译，1853）。

初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。

代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为“堆”（一堆东西），并以象形文字表示。古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成是代数学？

古希腊时代，几何学明显地从数学中分离出来，并在希腊科学中占统治地位，其威力之大，以至于纯算术的或代数的问题都被转译为几何语言：将量解释为长度，两个量之积解释为矩形、面积等。现代数学中保留的称二次幂为“平方”，三次幂为“立方”，就是来源于此。古希腊时期流传至今的与代数有关的著作只有丢番图的《算术》。这是一部完全脱离几何形式的代数学著作，其中系统地研究了不定方程的理论，创造出高达6阶和多达10个未知数的不定方程和不定方程组，给出二元一次不定方程的一般解法。因此，丢番图被认为是不定分析的创始人。他还创立了一套缩写符号和应用负数之例，这在古代是绝无仅有的。《算术》中的问题构思精巧，解题方法极多，解题技巧高超，但最大的缺点是没有建立解方程的一般方法。

公元4世纪以后，希腊数学开始衰微，但印度和中东地区的数学却获得了相当可观的发展。印度人对代数学做出了重大贡献。他们用缩写文字和一些记号来描述运算。这套符号虽然不多，并且运算起来往往显得笨拙，但还是比丢番图的缩写代数先进得多，这已足使印度代数几乎称得上是符号代数，他们的工作预示了新数学的发展方向。6－7世纪的印度数学家主要研究不定方程的解法，他们建立了自己的独特方法。阿耶波多首先建立了一次不定方程（丢番图方程）求解的所谓“库塔卡法”（“库塔卡”原意是“扩散”或“研细”），其实质是通过欧几里得辗转相除法的计算程序，接近于连分数的算法。这种算法后来由婆罗摩笈多和12世纪的婆什迦罗所发展。其雏形“更相减损术”早在中国《九章算术》里就已出现，后来到秦九韶“大衍求一术”更加完善。在婆罗摩笈多的著作中，还给出了二次方程x²＋px－q＝0的一个根的公式

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x=─ (√p²＋4p – q)

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