集合论 (3-1)

摘自《数学史辞典新编》 杜瑞芝 主编 [P459]

集合论（set theory）数学的一个基本的分支学科，研究的内容是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。按现代数学观点，数学各个分支的研究内容或者本身是带有某种特定结构的集合（如群、环、拓扑空间），或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础，特别是表述的基础，至多范畴论除外。

集合论是G.康托尔于19世纪末创立的。20世纪初对集合论的严格处理产生了公理集合论，由于对它的研究广泛采用了数理逻辑工具，集合论（公理集合论）又逐渐成为数理逻辑的一个分支，并从20世纪60年代以来获得迅速的发展。

集合论是关于无限集合（也称无穷集合）和超限数（也称超穷数）的数学理论。因此，对研究无限集合的表述需要就是集合论产生的源泉。人们对无限集合的认识可以追溯到古希腊的数学家，例如埃利亚学派的芝诺，他提出的芝诺悖论就涉及到对无限的认识。到了亚里士多德，已经能够区分潜在无限和实无限，他特别强调了潜在无限，认为实无限是不存在。这对后世产生了极大的影响。但是由于数学中尚未实质上涉及到真正的无限集合，所以对于无限集合的观念也只是潜在地存在着。17世纪伽利略提出了一个悖论。他发现：两条不等长的线段上的点可以构成一一对应。他又注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大量有不同的“数量级”，不过伽利略认为这是不可能的。他认为，所有的无穷大量都一样，不能比较大小。紧接着人们把无穷小量引入数学，那就是微积分发现之初所引进的无穷小运算。虽然当时的人们确实感到有表述和认识无限的需要，但是对此又感到无力把握。这就向数学界提出了一个挑战。最先进行应战的是数学分析严格化的先驱波尔查诺，他是第一个为了建立集合的明确理论而做出积极努力的人。他明确谈到了实在无限集合的存在，强调两个集合等价的概念，也就是后来的一一对应的概念。他指出，无限集合的一部分或子集可以等价于其整体，并认为这个事实必须接受。这样在分析数学的研究中，开始形成了实无限意义下的集合观念。

具体地说，集合概念直接产生于三角级数的研究工作中。1854年黎曼提出，如果函数f(x)在某个区间内除间断点以外所有的点上都能展开为收敛于函数值的三角级数，那么这样的三角级数是否唯一？但他没有回答。1870年海涅证明：当f(x)连续，且它的三角级数展开式一致收敛时，展开式是唯一的。进一步的问题是：什么样的例外的点（间断点）不影响这种唯一性？表述这些例外的点的整体的需要，产生了点集的概念，G.康托尔引入了直线上的一些点集拓扑概念，探讨了前人从未碰到过的结构复杂的实数点集。这是集合论的开端。

1874年，G.康托尔越过“数集”的限制，开始一般地提出“集合”的概念。他给集合下类这样一个定义：把若干确定的有区别的（具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素，也说它属于该集合。有了集合概念，就可以定义出一系列有关的概念，集合论就产生了。

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