分析学 (3-1)

摘自《数学史辞典新编》 杜瑞芝 主编 [P582]

分析学（analysis）17世纪以来围绕微积分学发展起来的数学分支。一般认为它是数学中最大的一个分支。分析学所研究的内容随着数学的发展而不断变化。17－18世纪的分析学，以微积分学和无穷级数为主，包括变分法、微分方程、积分方程和复变函数论等基本内容。到了19世纪，变分法、微分方程和积分方程得到迅速发展。但在这一时期，随着微积分基础的严密化，函数论得到极大发展，并在分析学中占据特殊地位。在20世纪，由于变分法和积分方程一般理论的需要，产生了泛函分析。20世纪以来，由于其他分支的发展和相互渗透，推动了近代微分方程的发展，它已成为分析学的一个最大分支。虽然它的内容仍属于分析学，但我们把它作为数学的一个独立分支与概率论和数理统计学等分支并列。分析学的近代发展，还包括大范围变分法、遍历理论、位势理论和流行上的分析，这些分支又与数学的其他分支相互渗透和综合。

早期的微积分学也叫做无穷小分析。这是因为在创立微积分的过程中，主要研究对象是无穷小量。1669年，牛顿发表了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子，称微积分学为分析学，他把无穷级数也纳入了分析学的范围。当时微积分的名称还没有出现，牛顿称这门新学科为分析学，以示其区别于几何学和代数学。最早把“分析”与“无穷小”联系起来的是法国数学界洛必达。他的著作《阐明曲线的无穷小分析》（1696）是第一本系统的微积分教科书。

极限和定积分的思想，在古代已经萌芽。在中国，公元前4世纪桓团、公孙龙等提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，以及刘徽所创割圆术，都反映了朴素的极限思想。在古希腊，德谟克里特提出原子论思想，欧多克索斯建立了求面积和体积的穷竭法，阿基米德对面积和体积问题进一步研究，这些工作都孕育了近代积分学的思想。

在17世纪，研究运动成为自然科学的中心课题。微积分的出现，最初是为了处理几何学和力学中的几种典型问题。成批的欧洲学者围绕面积、体积、曲线长、物体重心、质点运动的瞬时速度、曲线的切线和函数极值等问题做了大量的工作，穷竭法被逐步修改，并最终为现代积分法所代替。有关微分学的工作，大体上是沿着两条不同路径进行的，一条是运动学的，一条是几何学的，有时也是交叉在一起的。在这一时期，出现了大量的极成功的并且富有启发性的方法，有关微积分学的大量知识已经积累起来。

17世纪末，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨各自独立地在前人工作的基础上创立了微积分学。他们分别从力学和几何学的角度建立了微积分学的基本定理和运算法则，从而使微积分能普遍应用于自然科学的各个领域，成为一门独立的学科，并且是数学中的最大分支——分析学的源头。

微积分学的建立，使分析数学得到迅速的发展。在18世纪，微积分学成为数学发展的主要线索。微积分本身的内容不断地得到完善，其应用范围日益扩大。

由于围绕微积分发明权所产生的争议，使微积分在英国和欧洲大陆沿着完全不同的路线发展。在英国，数学家们处于对牛顿的崇拜和狭隘的民族偏见，拘泥于牛顿的流数法，故步自封。在泰勒和麦克劳林之后，数学发展陷于长期的停滞状态。而在欧洲大陆，伯努利家族的数学家们和欧拉继承了莱布尼茨的微积分，使之发扬光大。特别是欧拉开始把函数作为微积分的主要研究对象，他的三部著作不仅包含了其本人在分析领域的大量创造，而且他引进的一批细准的符号对分析学表述的规范化也起到了重要作用。在计算某些无理函数的积分时，数学家们发现了许多不能用已知的初等函数来表示的积分，这些积分导致了后来称作椭圆积分乃至椭圆函数的研究。微积分的发展逐步进入了新的阶段。

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