分析学 (3-2)

这一时期的数学家们大都忙于获取微积分的成果与应用，较少顾及其概念和方法的严密性。尽管如此，也有一些人对建立微积分的严格基础做出重要尝试。除了欧拉的函数理论外，另一位天才的分析大师拉格朗日采用所谓“代数的途径”，主张用泰勒级数来定义导数，以此来作为微积分理论的出发点。达朗贝尔则发展了牛顿的“首末比方法”，用极限概念代替含糊的“最初与最末比”说法。

微积分在物理、力学和天文学中的广泛应用，是18世纪分析数学发展的一大特点。这种应用使分析学的研究领域不断扩充，形成了许多新的分支。1747年，达朗贝尔关于弦振动的著名研究，导出了弦振动方程及其最早的解，不仅推进了偏导数的演算，而且成为偏微分方程的发端。通过对引力问题的深入研究和探讨，获得了另一类重要的偏微分方程——位势方程。与偏微分方程相关的一些理论问题也开始引起注意。

常微分方程的发展更为迅速。从17世纪末开始，三体问题，摆的运动及弹性理论等的数学描述引出了一系列的常微分方程，其中以三体问题最为重要，二阶常微分方程在其中占有中心位置。约翰·伯努利、欧拉、里卡蒂、泰勒等人在这方面都做出了重要工作。

变分法起源于最速降线问题和与之相类似的其他问题。欧拉从1728年开始从事这类问题的研究，最终确立了求积分极值问题的一般方法，奠定了变分法的基础。拉格朗日发展了欧拉的方法，首先将变分法建立在分析的基础之上，他还用变分法来建立其分析力学体系。

这些新的分支与微积分共同构成了分析学的广大领域，它与代数、几何并列为数学的三大分支。

18世纪末到19世纪初，为微积分奠基的工作已迫切地摆在数学家们面前。19世纪分析严格化的倡导者有高斯、波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克雷和外尔斯特拉斯等人。1812年，高斯对超几何级数进行了严密研究，这是最早的有关级数收敛性的工作。1817年，波尔查诺放弃无穷小量的概念，用极限观念给出导数和连续性的定义，并得到判别级数收敛的一般准则。但是他的工作没有及时被数学界所了解。柯西是对分析严格化影响最大的学者，1821年发表了代表作《分析教程》，除独立得到波尔查诺的基本结果外，还用极限概念定义了连续函数的定积分。这是建立分析严格理论的第一部重要著作。阿贝尔一直强调分析中定理的严格证明，在1826年最早使用一致收敛的思想证明了一个一致收敛的连续函数项级数之和在其收敛域内连续。1837年，狄利克雷按变量间对应的说法给出了现代意义下的函数定义。从1841年起，外尔斯特拉斯开始了将分析奠基于算术的工作。他采用明确的一致收敛概念，使级数理论更趋完善。他把柯西的极限方法发展为现代通用的ε-δ说法。但是直到19世纪70年代，算术中最基本的实数仍是模糊的。1872年，外尔斯特拉斯、G.康托尔、戴德金和其他一些数学家在确认有理数存在的前提下，通过不同途径（戴德金分割、有理数基本序列等）给出无理数的精确定义。又经过不少数学家的努力，最终在1889年，由皮亚诺建立了自然数的公理体系。由此可以从逻辑上严格定义正整数、负数、分数和无理数。从此微积分学才形成了严格的理论体系。

单复变函数论在19世纪分析学中占据特殊地位，几乎相当于17－18世纪微积分在数学中所处的位置。到18世纪，欧拉、达朗贝尔和拉普拉斯等人联系着力学的发展，对于单复变函数已经做了不少的工作。但函数论作为一门学科的发展，是19世纪的事，复变函数论的理论基础主要由柯西、黎曼和外尔斯特拉斯等人建立起来。

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