算术公理系统之：实数（三） (6-4)

三层实数，只是一个理论工具，帮助我们理解直线上的实数而已。在实际应用中，不需要一股脑全搬出来。用实数去度量，就用度量层的显实数，其他两层实数则可以忽略。比如画一条数轴，只需在数轴上标记好0、∞和1即可，不用在数轴的下面再画出逻辑层和始基层。只要记得逻辑层的要义是“从无到有必然经历无穷”，始基层的要义是“连续就意味着不可区分”，那么这两层实数就等于已经刻在脑子里了，用的时候自然能得心应手。下面我们就杀鸡宰羊，试试这把牛刀。

实数为什么比自然数多

所谓实数，是能够与一条直线上的所有点一一对应的实数。直线是无限的，那么实数也是无限的。什么是无限?——直线的无限，展现的是几何直观的无限，“直观”即“直接去看”，想知道什么是无限，就直接去看直线，无限就像直线那样。这种类比的认知方式过于原始，不具备太多的可操作性。为此数学家们发现如果一个集合是无限的，那么这个集合可以跟它的一个真子集一一对应。简言之，即整体与部分相等。反过来说就是，如果一个集合能够做到整体与部分相等，那么这个集合是无限集。这么奇葩的性质，在有限集当中肯定是不存在的。

但问题是无限和无穷，在数学家那里居然是不分的，他们认为无限就是无穷，无穷就是无限。所以在他们看来整体与部分相等的既是无限集，也是无穷集。而实际上，无限和无穷是两个完全不同的概念，无穷集也有有限和无限的区分。实数有无穷多，实数集是无穷集，但它是无限的无穷集；自然数有无穷多，自然数集是无穷集，但它是有限的无穷集。拿实数去跟自然数一一对应，实际上是拿无限集去跟有限集一一对应，无限对有限肯定是对不上的，结果必然是实数比自然数多。

当康托用反证法证明实数比自然数多时，他并没有拿整个实数去跟自然数对应，而是从中截取0到1之间的一小段去跟自然数对应。0到1之间的所有实数，即区间[0，1]，它有上边界、有下边界，明显已经不是无限集，而是有限集了。拿它去跟自然数对应，其实是有限对有限，这种情况是我们熟悉的，知道它多一个就是多，整体大于部分。况且自然数有多少个，前面我们已经知道了，有ω个。那么0到1之间的所有实数有多少个呢?

整数部分为0，小数部分的有效位数是lg∞－1，每个数位取0－9十个数字中的一个，即

0.000…000

0.000…001

0.000…002

…

0.999…998

0.999…999

这一共有多少个实数是可以算出来的：

10ˡᵍ∞⁻¹ ∞

10ˡᵍ∞⁻¹＝───＝─，

10 10

0到1之间的所有实数一共是∞/10个，自然数是ω个，在值序坐标图中将这两个数标记出来，一目了然，∞/10在前，ω在后，自然数还多啊。

自然数居然比实数还多，这怎么可能呢?——确实不可能。0到1之间，能够表示成无穷小数的实数，即通常所说的有理数加无理数，只是所有实数中的可区分数部分，它的占比是很小的。每个可区分数的身边还围绕无穷多的不可区分数，这个数量是庞大的。0到1之间的第一个可区分数是0，第二个可区分数是无穷小0.000…001，那么0到无穷小之间还有无穷多个不可区分数，即：

第一个实数：0，

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