算术公理系统之：实数（三） (6-3)

既然无穷小数的位数是一个定数，并且每个数位上的数字都在0－9之间，那么无穷小数具体是哪些我们是可以按大小顺序一一列出来的，以 0到1之间为例：

0.000…000

0.000…001

0.000…002

…

0.999…998

0.999…999

这就是所有的无穷小数，就是通常理解的有理数加无理数，你不可能再找出一个不在这张列表中，却还属于0到1之间的小数。这些小数的位数是无穷位，即lg∞－1；并且任意相邻两个无穷小数之间不再有其他可区分的无穷小数。例如，第一个无穷小数加第二个无穷小数再除以2：

（0.000…000＋0.000…001）/2＝0.000…0005

结果中这个最后一位数字5，已经超出无穷小数的有效数位，可以忽略不计。这整个数（0.000…0005）在数轴上是找不到它的位置的，它的值实际上还是等于第一个无穷小数。即

0.000…0005＝0.000…000

惊不惊讶，不相等的两个数a和b，(a＋b)/2得出的居然可以不是一个新数?

这个0.000…000即是0，0.000…001即是大于0的最小小数，或者说，它就是显实数中的无穷小。这个无穷小正好可以与隐实数中的无穷小[公式]对应。隐实数中的无穷小是一个逻辑上的无穷小，而显实数中的无穷小是随着∞和1的确定而确定的，它是一个可以用于度量的无穷小。这个无穷小确定以后，从0开始，以0到无穷小之间的距离为最小单位，向右移动得到的就是正的有理数或无理数，直至遇到∞为止；向左移动得到的就是负的有理数或无理数，直至遇到－∞为止。

有理数和无理数的地位是平等的，不是先有了有理数之后才有的无理数，也不是非要通过有理数去构造无理数。我们只需基于无穷小按照一定的规则构造出所有可区分数，然后碰巧其中有的可区分数可以表示成整数与整数之比，即为有理数；有的不能表示成整数与整数之比，即为无理数。有理数和无理数同自然数一样，也是有限的，是在∞之内的。

这些有理数或无理数在逻辑层上的投影为可区分数β。∞之后与－∞之前的数都是无穷数，就不再细分，它们在逻辑层上的投影都是∞'。至此，三层实数构造完成。

三层实数，都是基于算术运算得到的，没有用到任何算术规则之外比算术更高级的知识或者技巧，可以说它完全是算术公理自然演绎的结果，就不存在还要算术化的问题。反观整个三层实数的构造，它很清晰地呈现出来一个由简单到复杂的演化进程：第一层始基层，可谓洪荒初开，只有一个0，运算只有±0，结果则是只有一个可区分数和很多很多的不可区分数。这一层的要义是，连续就意味着不可区分；第二层逻辑层，可谓天高地阔，不仅有0，还有∞，基本运算是±0×∞，结果是有很多很多的可区分数和很多很多的不可区分数。这一层的要义是，从无到有必然经历无穷；第三层度量层，可谓万物滋生，0、∞和1齐备，基本运算是±1，结果是有自然数、整数、有理数、无理数，该有的都有了。这一层的要义是，不能忘本，就是别忘了前面两层是基础。从洪荒初开，到天高地阔，再到万物滋生，仿佛是一个宇宙的诞生，蔚为壮观。

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