算术公理系统之：实数（三） (6-2)

可区分数为纲，不可区分数为目，纲举则目张，所以只要将所有可区分数构造出来，相应的不可区分数，不构造也构造了，它们就是在可区分数基础上加0呗。如果说这些可区分数不是有理数就是无理数的话，那就好办。因为有理数都可以转换成有穷小数或者无穷循环小数，只要愿意，有穷小数也都可以等价转换成无穷循环小数；而无理数则是无穷不循环小数。意味着有理数和无理数可以统一由无穷小数来构造。反过来说就是一个无穷小数，出现循环的就是有理数，不出现循环的就是无理数。那么不管它循环不循环，构造一个无穷小数就是在构造一个可区分数，构造出所有的无穷小数，也就意味着构造出了所有的可区分数。

无穷小数的一般形式是：

0.α₁α₂α₃ . . . αₙ . . .，

因为我们讨论的是0到1之间的实数，所以无穷小数的整数部分取0。这里采用十进制小数，即小数点后面的任意一位数αₙ，它的位值是

1

──

10ⁿ

，可选数字在0－9之间。首先一个问题是小数的位数是无穷位，那么这个无穷是有限的无穷，还是无限的无穷?

将无穷小数的位值单拎出来看：

1 1 1 1

──，──，──，...，──，...

10¹ 10² 10³ 10ⁿ

明显它是越来越小的，后一项都是前一项的1/10，这样一直小下去，一定会在某一项等于0。一旦出现一个0，0×(1/10)＝0，意味着此后的所有项都等于0。位值为0，那么不论这个数位上出现什么数字，结果都是0。这就没意义了，或者说无效。人们通常说的是“无限小数”，“无限”意味着不能停，小数位数在出现位值为0之后，还要继续下去，因此无限小数是没有最后一位的。我们这里说的是“无穷小数”，这个“无穷”是止步于位值出现0之前的有限的无穷，它包含所有大于0的有效数位，0及其之后的无效数位就统统舍弃了，它是有最后一位的。那么数列：

1 1 1 1

──，──，──，...，──，0，0，...

10¹ 10² 10³ 10ⁿ

1

当中的──，

10ⁿ

即是无穷小数的最后一位数的位值，它的下一位就是0了，这一位在哪呢?

因为1/∞＝0，设10ˣ＝∞，则x＝lg∞，即位值为0的那一位是lg∞。lg∞具体是多大呢?——不知道，如何对∞进行运算，我们了解还太少，估计是无穷自然数中的某个数。那么此前的一位，即是无穷小数的最后一位n＝lg∞－1。由此可以回答，无穷小数的小数位数有多少呢?——有lg∞－1位小数。如果改用二进制呢，它就应该有log₂∞－1位小数。由于所有无穷数都等于∞，因此将最小无穷数α代入计算也是可以的，即无穷小数的最后一位n＝lgα－1，这个值可能还更准确，但为了论述方便，这里仍旧采用∞。

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