计数 (3-3)

哥德尔对数理逻辑的贡献巨大。逻辑推理是数学的一个基础工具，在古代是作为哲学的一部分，对形式逻辑的系统研究应该始于古希腊的亚里士多德，欧几里得的《几何原本》是使用形式逻辑组织数学理论的典范。从古到今，哲学家和数学家一直在探索逻辑的本质和它的方方面面，有很多人的工作非常杰出，如莱布尼茨、弗雷格（Frege）、罗素等等。莱布尼茨可能还是迄今为止最出色的符号大师，他引进的很多特别好的符号，如微分符号dy，dx等。对数学来说，引进恰当的符号是很重要的，符号是表示内容的一种形式，形式要为内容服务，所以必须与内容相符。如果你没有很好的形式的话，很多内容是没办法恰当地表示出来的。很多时候你不要忽略形式的价值。

我们一般都相信在数学中一个陈述的真假性一定可以被证明，对逻辑本身充满了信心，君不见对说明事情的明确性常有这样的表达“逻辑上无懈可击”。但逻辑本身远非像常人所想的那样简单和无往不利，有时让人感到太不踏实，前面连续统假设的研究就是一个例子，其实在此之前哥德尔的两个不完备性定理给数学基础带来巨大的危机，宣告了弗雷格、罗素、希尔伯特等人寻找对数学足够用的公理系统的努力是不会成功的，尽管希尔伯特曾经非常乐观地认为“我们必须知道，我们将会知道”（“Wir mussen wissen，Wir werden wissen”，1930）。哥德尔地两个不完备性定理可以表述如下：

定理3（哥德尔，1931）一个无矛盾地公理化理论如果包含算术公理体系，那么在这个理论中存在一个陈述句，其真假不能在这个理论中判断。

定理4（哥德尔，1931）一个公理化理论如果包含算术公理系统，当它无矛盾时，其无矛盾性不能由这个理论自身证明。

这两个定理和我们生活中的一些感受十分类似，有些事情没法说清真假（法庭上这类事情最好少发生），一个人常常无法自证清白，需要他人的帮助才行。哥德尔的不完备性定理和其他工作不仅在数学上产生巨大的影响，在哲学上亦是如此。一本有名的书《GEB——一条永恒的金带》给人们展示了不完备定理、埃舍尔的绘画、巴赫音乐的之间的奇妙联系。

不完备定理还提示我们，人类认识的能力可以走到哪里在逻辑上很难找到一个确切的答案，但对这个问题的探讨，会帮助我们更进一步认知我们的逻辑能到达的范围。数理逻辑与计算机科学有密切的关系。理论计算机科学最有名的一个问题就是P和NP问题，这个问题是克雷数学研究所的千禧年问题之一，谁能解决这个问题就能从那儿获得一百万美元的奖金。这个问题的表述有多种，最容易明白的可能是下面这个。

P和NP 设A是有限集，由一些整数组成，用Sᴀ表A中所有数的和。问题：能否找到多项式时间的算法以确定是否存在A的子集B使得Sʙ=0。

到目前数学家的理论计算机专家对这个问题还没什么办法，一部分专家倾向于答案是肯定的，更多的专家倾向于答案是否定的，还有一部分专家倾向于这个可能在现有的框架下是无法确定对与错的，犹如连续统假设一样。如果P和NP的答案是肯定的，那表明世界上现在用的密码绝大多数在理论上是容易破解的，这对很多行业如通信、银行等来讲是个灾难。

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