计数 (3-2)

中除有限个外都是无理数，一个结论就是现实世界中的“无理”和“不公平”的事情总比“有理”和“公平”的事情多。

一个复数称为代数数如果它是某个整系数的一元多项式的根，否则称为超越数。断言某个数是超越数远非易事，实际上，直到1844年才由刘维尔证明了超越数的存在性，1851年他给出首批超越数，其中一个是

∞

∑10⁻ᵏ！。

ₖ₌₁

最重要的超越数可能是圆周率Π和欧拉数

∞ 1

e＝∑ ─，

ₖ₌₁ k！

Π的超越性由林德曼（Lindeman）于1882年证明，e的超越性由埃尔米特（Hermite）于1873年证明。

定理2的（2）和（3）表明超越数不仅存在，而且比代数数多得多，不在一个量级上，虽然这个定理没有指出一个超越数。这很有意思，它显示了等势这个概念的威力，告诉我们恰当的概念能深刻揭示事情的本质，引导我们前行。

康托尔建立的集合论已成为现代数学的基础。德国人在19世纪和20世纪初为数学和物理学作出巨大的贡献，在概念和思维方式上都有很多的突破。可能德国发达深刻的哲学起了很大的作用，有时间看一看莱布尼茨、康德等人的哲学著作是很有益处的。

定理2引出一个很自然数的问题：在自然数全体和实数全体中间，有没有一个集合，它既不可数（即不与自然数集等势），也不与实数集等势。1878年康托尔提出了连续统假设：这样的集合不存在，也就是说，不存在一个，它的势比自然数集的势大，但比实数集的势小，犹如在1和2之间不存在整数。存在或不存在之类的问题对数学而言常常是很重要的，虽然可能不会像莎士比亚的戏剧“哈姆雷特”中的“活还是不活”（to be or not to be）那么重要。

连续统假设是那么自然的一个问题，很能吸引我们的好奇心。1900年，在巴黎举行的国际数学家大会上，希尔伯特提出了著名的23个未解决的数学问题，连续统假设排在第一个。

哥德尔（Godel），伟大的奥地利数理逻辑学家，在1940年证明了连续统假设与我们平常的公理体系是没有矛盾的，即连续统假设与策梅洛（Zermelo）-弗伦克尔（Fraenke）集合论无矛盾。没有矛盾，并不意味着它是对的。1963年科恩（Cohen）建立了强有力的方法——力迫法，用这个方法他证明了连续统假设之否与我们平常用的公理体系也是没有矛盾的，即连续统假设之否与策梅洛-弗伦克尔集合论无矛盾。也就是说在我们常用的公理系统中，加入这个假设不会产生矛盾；加入这个假设之否，也不会产生矛盾。这显然出乎常人的意料，一个重要而又自然的问题，竟在我们常用的公理体系里没法断定真假，就像我们生活里听到的一句话：说你行也行，说你不行也行。

看上去，连续统假设似乎已经弄明白了，但其实对这个问题的思考一直在延续，产生很多深刻的数学。乌丁（Woodin）的工作表明连续统假设是错的也许更合理，当然这里面有很多的条件，这些条件说出来就过于专业了，这里就不说了。我们可以把连续统假设和平面几何的平行公理比较，对平行公理的思索和研究导致了双曲几何等非欧几何的产生，黎曼几何是非欧几何的一种，是广义相对论的数学框架，所以对简单的好问题的不断思索常常给我们带来很深刻的数学新天地。

科恩因在连续统假设上的工作获得1966年的菲尔兹奖。他原来是分析数学的专家，在其中做出过重要贡献，于1964年获分析数学中的博谢（Bocher）奖。有一个传言说科恩在完成了对连续统假设的工作后觉得数学中的问题只有黎曼假设值得他去研究，有点像我国古诗“曾经沧海难为水”所描述的那样。

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