代数学 (5-4)

在19世纪，代数学领域发生了革命性的变革。首先是挪威数学家阿贝尔证明了（1824－1826）五次以上的一般代数方程不可能用根式求解，并实质上引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念。紧接着（1832），法国数学家伽罗瓦对于高次方程是否能用根式求解问题给出更加彻底的解答。他引进了置换群的正规子群、数域的扩域、群的同构等概念，证明了由方程的根的某些置换所构成的群（即伽罗瓦群）的可解性是方程根式可解的充分必要条件。伽罗瓦的工作并没有立即为人们所了解和接受，直到1870年才由法国数学家若尔当在他的著作《置换与代数方程》中给出第一个全面而清晰的阐述，他还补充了自己的新成果，这边著作大大地推进了置换群论的研究。

几乎与伽罗瓦的工作同时，英国数学家皮科克发表了他的《代数通论》（1830），其中对代数运算基本法则进行研究，试图建立一门更一般的代数，它仅是符号及其满足的某些运算法则的科学。英国数学家德·摩根和布尔在这方面也做出了重要尝试。前者指出，代数学应该是一系列“运算”，而这种运算可以建立在由任何符号（不一定是数字）构成的集合上，并根据一定的公设来进行。后者则利用代数语言使逻辑推理更加简洁清晰，从而建立逻辑代数。他们的工作预示了抽象代数学的产生。在布尔的工作的影响下，英国数学家凯莱和西尔韦斯特共同创立了代数型理论，奠定了关于代数不变量理论的基础。这项工作也是引向抽象代数学建立的动力。

另一项引起代数学变革的工作来自英国数学家哈密顿和德国数学家格拉斯曼。前者在1843年构造出第一个不满足乘法交换律的数学对象——四元数。四元数的发现是继伽罗瓦提出群的概念后，19世纪代数学最重大的事件，它是推广平面复数系统结构的产物（见《四元数讲义》）。1844年，也就是哈密顿宣布发现四元数的第二年，格拉斯曼独立地得到更一般地具有n个分量的超复数理论。格拉斯曼的《线性扩张论》中涉及的是n维向量空间。他所说的“扩张的量”就是一种有n个分量的超复数。由于他的叙述抽象难懂并且语言晦涩，所以当时这本书影响不大。直到1862年，他的理论的独创性才逐渐为人所知。

1801年，高斯发表了《算术研究》，其中关于复整数理论的研究不仅开辟了数论研究的新方向，也是代数数论研究的开端。由于对费马大定理的研究，德国数学家库默尔引进了“理想数”概念（1845－1847），在此基础上，戴德金发展了理想理论。这项工作不仅对代数数论的发展有着重要影响，而且开辟了抽象代数发展的道路。

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