代数学 (5-5)

自19世纪初以来，引起代数学的变革并最终导致抽象代数学产生的工作还可以列举一些，这些工作大致可分属于群论、代数数论和线性代数这三个主要方面。到19世纪末，数学家们从许多分散出现的具体研究对象抽象出它们的共同特征来进行公理化研究，完成了来自上述三个方面工作的综合，代数学终于从方程理论转向代数运算的研究。近代德国学派对这一步综合的工作起了主要作用。自19世纪末戴德金和希尔伯特的工作开始，在韦伯的2卷集《代数教程》（1895－1896）的影响下，施泰尼茨于1911年发表了重要论文《域的代数理论》，对抽象代数学的建立贡献很大。20世纪20年代以来，以A.E.诺特和E.阿廷以及他们的同事、学生们为中心，抽象代数学得到空前的发展。通常将A.E.诺特1921年发表的《环中的理想论》看作是现代抽象代数学的开端。在这篇论文中，A.E.诺特用公理化方法发展了一般理想论，奠定了抽象交换环理论的基础。她还以全新的、统一的纯粹概念，利用前人几十年积累起来的成果，逐步地建立了非交换代数及其表示理论。而她于1932年与布饶尔、哈塞合作证明的所谓“代数主定理”，被称为代数学发展史上的一个重大转折。荷兰数学家范德瓦尔登根据A.E.诺特和E.阿廷的讲稿写成《近世代数学》（1930－1931），用透彻的公理化形式综合了当时抽象代数学各方面的工作，对于抽象代数学的传播和发展起了巨大的推动作用。

抽象代数学是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种代数结构的性质为其中心问题的。因此，抽象代数的研究具有极大的一般性并能演绎出无比丰富的内容。代数结构的研究对现代数学的发展影响深远。法国布尔巴基学派正是受抽象代数思想的启示提出了一般的数学结构观点。这种观点使公理化方法更上一层楼，它导致了对数学中更一般的抽象结构的研究。例如，在1933－1938年，经过G.D.伯克霍夫、冯·诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人的工作，格论确定了在代数学中的地位。而自20世纪40年代中期起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。泛代数、同调代数，特别是1945年麦克莱恩和艾伦伯格提出的具有高度抽象的数学系统——范畴等抽象代数学的新分支陆续建立和发展起来。

在中国，抽象代数学的研究始于20世纪30年代。中国数学家已在许多方面取得了有意义的和重要的成果。曾炯之于1929年春天作为留学生来的哥丁根，成为A.E.诺特学派的成员之一。他在A.E.诺特的指导下以论文《函数域上的代数》获得哲学博士学位，文中包含了当时抽象代数前沿领域的重要结果——著名的哈塞－布饶尔－诺特定理的推广，后以“曾定理”著称。后又于1936年发表论文《拟代数封闭域的层次论》，提出了著名的“曾层次”，后被S.朗（A.Lang）重新获得，其工作影响深远。此外，华罗庚、周炜良和张禾瑞等不仅是把抽象代数学引入中国的播种人，而且他们本人的研究成果也很突出。

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