代数学 (5-3)

二次方程的求根公式在花拉子米时代就已经得到，他的代数学著作被译成拉丁文后在欧洲流传了几百年。但三次、四次方程的求根公式，直到15世纪末还没有被发现。16世纪上半叶，意大利的几位数学家突破了这个难题。首先发现某种三次方程解法的是费罗，而另一位数学家塔尔塔利亚也宣称自己得到了同类方程的解法，由此引起了400多年前的一场著名的数学竞赛，其结果是塔尔塔利亚获胜。但是他的方法却由另一位意大利数学家卡尔达诺抢先在其著作《大术》（1545）中公布，为此还引发一场风波。三次方程的求根公式最终以“卡尔达诺公式”流传下来。四次方程的一般解法由卡尔达诺的学生费拉里得到。

在出现普遍适用的代数符号之前，代数方程理论的发展是缓慢的、曲折的。花拉子米的《代数学》完全用文字叙述，使用起来很不方便。丢番图和印度数学家都使用过一些缩写文字和记号，但很不系统，没有被后人采纳。在12世纪以后欧洲的代数学文献中陆续出现过一些简写法，包括一些运算的表示，如用

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P和M表示“加”和“减”等。到15世纪末，开始使用现代形式的符号“＋”和“－”来代替过去流行的用繁琐语言表示数学运算。接着又有了幂及根式的符号，并出现了括号。到16世纪末期，意大利数学家邦贝利引进了虚数，稍晚的荷兰数学家吉拉德（A.Girard,1593－1632）推断：对于n次多项式方程，如果把不可能的（复数）根考虑在内，并包括重根，则应有n个根。这就是著名的“代数基本定理”，但他没有给出证明。

符号代数学的最终确立是由法国数学家韦达完成的。他的《分析术入门》被西方数学史家推崇为第一部符号代数学。在该书中，他自觉地、系统地运用字母代替数字，用辅音字母表示已知数，用元音字母表示未知数。韦达还明确指出代数与算术的区别，前者是“类的算术”（施行于事物的类和形式的运算），后者是“数的运算”。于是代数学更带有普遍性，形式更抽象，应用更广泛。在稍后的工作里，韦达改进了三次、四次方程的解法。他还对二次和三次方程建立了方程的根与系数之间的关系，即现在被称为韦达定理的结果。后来笛卡尔改进了韦达创造的符号系统，用a，b，c，…表示已知量，x，y，z，…表示未知量。当代所使用的大多数代数符号到17世纪中叶已基本确立。

17－18世纪中期，代数学被理解为在代数符号上进行计算的科学，用来研究与解方程有关的问题。这个时期最好的教科书之一是欧拉的《代数学入门》（1770），其内容包括整数、分数和小数、方根、对数、一次到四次代数方程、级数、牛顿二项式和丢番图分析等，是对16世纪中期发展起来的符号代数学的系统总结。

18世纪对代数学的研究时常要服从分析学的需要，许多人甚至把分析看作代数的延伸。其实这一时期代数学的发展为19世纪的革命性变化奠定了基础。高斯研究了复数及其运算的几何表示，给出代数基本定理的第一个证明（1799）。法国数学家拉格朗日、旺德蒙德和意大利数学家鲁菲尼等研究五次以上代数方程的解法，发现根的有理函数与根置换对方程性质的深刻影响，开始认识到五次以上的代数方程用根式求解的不可能性。

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