代数学 (5-2)

及某些不定方程的通解的一般形式。印度代数的另一成就就是引进了负数，印度人对负数的应用最早见于婆罗摩笈多的著作。在他的《婆罗摩历算书》中称正数为“财产”，负数为“债务”，并给出了正负数与零的四则运算法则。

在古代，只有希腊几何学从数学中分离出来，算术与代数在很长时期内都是交错在一起的。人们只能从中归纳出具有代数特点的问题，作为代数学的历史痕迹。代数学发展成为一门独立的数学分支应归功于中世纪的阿拉伯人。阿拉伯数学家系统地研究了二次方程的解法，早期的代表作是花拉子米的《代数学》（约820年）。这部著作提供了代数学这门学科的名称，花拉子米以两种变形规则的名称来为自己的书命名，从而体现了代数学的真髓。《代数学》用十分简单的例题讲述了解方程的一般原理，系统地讨论了一般二次方程的解法。他讲述的解法程序相当于给出了一元二次方程的求根公式，他还指出了其解法的普遍性。他已经知道二次方程有两个根，但他只取正根。花拉子米之后，又有多位数学家继承和发展了他的工作。代数学作为解方程的学说，在11世纪阿拉伯数学家奥马·海亚姆的《代数学》中达到了新的高度。他明确地把代数学定义为解方程的科学，还特别创造了用圆锥曲线解三次方程的几何方法。他的工作使代数与几何的联系更加密切。可惜的是，在1851年以前，欧洲人并不了解奥马·海亚姆的这种解析几何方法，花拉子米的《代数学》传到欧洲后，作为标准课本流行了几百年，而奥马·海亚姆关于“代数学是解方程的科学”的观念一直保持到19世纪末。

中国古代在代数学方面有光辉的成就。在古代数学名著《九章算术》（公元1世纪）中，记载了用算筹解一次联立方程组的一般方法。所采用的“正负术”中给出了负数的概念，建立了正、负数的运算法则。中国古代把开各次方和解二次以上的方程，统称为“开方”。在《周髀算经》和赵爽注以及《九章算术》和刘徽注中已经有完整的开平方法和开立方法。在二次方程x²＋ax＝A的数值解法和求根公式这两方面也有一定的成就。唐初王孝通的《辑古算经》的大部分内容是求三次方程的正根，还发展了三次方程的数值解法。宋元时期，中国数学家对高次方程的研究取得更加辉煌的成就。北宋数学家贾宪提出了著名的“开方作法本源图”（即贾宪三角）和增乘开方法，并用来解决二项方程近似根求法。南宋秦九韶在他的《数书九章》中把增乘开方法运用于高次方程，他将自己的方法称为“正负开方术”，给出了求解高次代数方程的完整的数值算法，做出了具有世界意义的重大贡献。除了“正负开方术”外，秦九韶还创立了“大衍总数术”，即一次同余式的一般解法。这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。金、元之际数学家李冶研究列一元方程的方法，创立“天元术”，其方法与现代代数中的列方程法相类似。元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》中又把这种方法方法推广到多元高次方程组，详细地给出了列多元高次方程组的方法，创立“四元术”。天元术和四元术都是用专门的记号来表示未知数，从而列方程、解方程。中国数学家为代数学的发展做出了新的贡献。

在中世纪的欧洲，对代数学有较大贡献的是意大利数学家斐波拉契。他的《算盘书》（1202）是这一时期最重要的数学著作，这部著作系统地向欧洲人介绍了阿拉伯的算术和代数，还汇编了一些源自古代印度、中国和希腊的数学问题，内容包括二次和三次方程以及不定方程的解法。所有这些对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响。1228年的《算盘书》修订版还载有一个有趣的“兔子繁殖问题”（见斐波拉契兔子问题），导致有名的斐波拉契级数的研究，后人发现这个级数有许多重要而有趣的性质，至今仍有人在研究，美国人在20世纪60年代初还创办《斐波拉契季刊》，专门刊登这方面的新发现。

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