算术 (2-2)

7世纪，古代希腊数学发展中断，欧洲处于“黑暗时代”，数学出现大幅度的倒退。罗马人重要偏重于实际问题的计算，但古代希腊数学的计算并不发达，罗马人所使用的是与希腊人类似的非位值制十进数字，算术运算十分困难，多位数的乘法几乎无法进行，分数计算更是难以想象的复杂。记数法方面的原因限制了欧洲算术的发展。12世纪，阿拉伯数学传入欧洲，带来了印度－阿拉伯数字，使欧洲人从繁杂的计算中解放出来，算术得到新的发展。

在乘法运算方法上，一大成果是开始了笔算（欧洲人原来也使用各种“算盘”作计算）。首先发展的是一种源于阿拉伯的“格子”算法，在欧洲，它出现在最早出版的印刷本算术书中（1478年）。这种方法如下图，表示934×314，被乘数和乘数分别写在格子的上方和右方，每两个数的积写在格子里，斜行相加便得答数293276。后来才出现现代通用得笔算乘法格式。

欧洲文艺复兴后，数学有了空前的发展，16世纪开始形成现代数学符号，17世纪创立了解析几何和微积分学。这些都促进了算术的发展，一方面，由算术发展发展出代数、数论等新的数学分支；另一方面，算术自身也有了不断的发展。例如数的概念先后扩张到实数和复数（见数），深入研究了数的运算的性质。1801年，高斯出版了他的名著《算术研究》，不仅开创了现代数论，而且开始了深入的算术理论研究。高斯证明了算术基本定理（大于1的任意自然数均可表成素数的乘积，如果不计次序的差别，表法是唯一的），对算术理论的发展具有重大意义。

19世纪非欧几里得几何学的创建是数学史上的一个转折点，人们从此开始了对数学基础的研究。随着这一研究的深入，人们不无惊异地发现，为了证明新建立的数学理论的“正确”——首先是无矛盾性，人们不得不借助于原来已有的数学理论；不仅如此，这个过程还要一再地“回顾”，把非欧几何的无矛盾性归结为欧氏几何的无矛盾性，把微积分和欧氏几何的无矛盾性归结为实数理论的无矛盾性，并把实数的理论的无矛盾性归结为自然数算术的无矛盾性，于是人们的数学研究画过一个巨大的圆圈——又回到人们的数学由之出发的地方：自然数算术。人们用数学发展的各种成果重新研究了自然数算术，给出了它的公理体系（例如皮亚诺，1889），后来还证明了自然数算术（纯数论系统）的无矛盾性（根岑，1936；阿克曼，1940；竹内外史，1955；哥德尔，1958）。这些都是现代称之为“理论算术”的学科内容。与此同时，人们还展开了数学基础诸方面的研究，取得许多重要的成果，例如算术系统的不完全性（哥德尔，1931；帕里斯等，1977）等。人们深刻地认识到，关于自然数及其性质的研究正处在一个新的起点上，算术又成为我们对数学新一层次研究的起点。

对计算方法和计算工具的研究，由于计算机的发展（由机械式、电动式、机电式计算机直到电子计算机）而不断得到深入的发展，对运算性质及其本质的研究也成为计算机科学的不可缺少的分支。现代算术为计算机的使用和发展提供了重要的理论基础。

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