算术 (2-1)

摘自《数学史辞典新编》 杜瑞芝 主编 [P733]

算术（arithmetic）研究数及数集上的运算的数学分支学科。算术的主要内容有数的概念的产生和发展、计算方法和计算工具、各种数的运算、数集的公理结构及数的性质等。研究整数的性质的内容后来发展成为数论。

算术是最古老的数学分支之一，是数学的“起点”之一，数的概念的产生及初步的算术运算的形成可追溯到史前时期。美索不达米亚和埃及地区在公元前30－前20世纪就产生了简单的算术知识（见美索不达米亚数学和古代埃及数学）。

古希腊人正式提出“算术”学科，但他们的算术只研究数的性质，严格说起来就是数论，从毕达哥拉斯直到欧洲中世纪，“算术”学科的内容都是如此。文艺复兴以后，人们才把数的理论及运算研究两者都作为算术学科的内容。欧几里得《几何原本》第7~9卷总结了古希腊人的算术（数论）知识，例如求两数最大公因数的方法，关于素数的一些定理等。书中还证明了乘法的交换律及乘法对于加法的分配律，这是典型的算术内容。丢番图也研究过一些算术问题。总的来看，古希腊人的数学成果主要在公理法和几何学方面，算术则侧重于数论，而在数的运算、数值计算方面的成果甚少。

与希腊人不同，在中国古代，算术指的是整个数学，特别重视数的运算、计算方法的研究，许多现代看来是属于几何学的问题也是转化为数的问题通过计算来解决的（有时称之为“算术化”）。与此有关，中国数学在世界上最早采用的十进位值制数字，在计算中表现出较大的优点。中国古代数学使用了独特的计算工具——算筹。算筹的使用大大促进了中国数学的发展，也影响到数学的发展方向：在整个中国古代数学中，计算处于中心的地位。算筹至迟出现于公元前5世纪，此时中国开始进入封建社会，社会生产有了较大的发展，广泛的社会生活对数学提出多方面的要求，中国古代数学逐渐形成了独特的应用体系，《九章算术》就是典型的代表作。一般的应用数学的模式是：人们对某类问题研究出算法，用它可以计算求解同类问题。在遇到这类问题时，则按算法的规定，用算筹计算（后来发展为算盘）。加上中国数字一字一音，形成关于各种算法的口诀，利用口诀可以布筹如飞，大大提高了计算速度和解决问题的能力。把算筹摆法记录下来就是中国的筹算数字，这对零的概念和零号的产生起了很大的作用。

中国古人对算术作了全面的发展，在《九章算术》中就已经有了完整的分数运算法则，给出了求最大公因数的一个算法，这与《几何原本》的算法本质上是一致的；对比例问题、盈亏问题都进行了研究并给出了相应的算法；给出开方（开平方、开立方）运算的法则和具体的计算方法；给出正负数的加减法则；等等。后来刘徽为该书作注，进一步使用了十进小数，提出分数和比例计算的一些新方法。《张邱建算经》和《孙子算经》对不定方程进行了研究，由后者的一个问题发展出孙子定理这样举世闻名的成就和大衍求一术这种独特的算法。《数术记遗》则系统研究了各种大数进位法和计算方法，其中的一种大数进位法与现代方法相近。用分数来逼近某个重要的数值也是中国古代的一项著名的算术成就。例如，刘徽用157/50来逼近圆周率，5世纪何承天用22/7来逼近圆周率，稍后，祖冲之用22/7和355/113从两个方面来逼近圆周率，其中355/113（密率）是一项重大的数学成就。

印度也很早就产生了算术，现今世界通用的印度－阿拉伯数字就起源于印度，零的概念的形成和零号的使用是印度人的一大贡献。9世纪印度数学传入中亚阿拉伯地区，阿拉伯人进行了改造和发展，12世纪传入欧洲，促进了欧洲数学的发展。

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