数学联邦政治世界观
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对称逻辑(一) (6-4)

Ra→b,是个什么东西?估计此前没人没见过,人们见得最多的是“如果a,那么b”,即a→b(读作a蕴涵b),这样的句式称为蕴涵式。它表示前提蕴涵结论,从前提可以必然推出结论,a蕴涵b,则从a必然推出b。但这个蕴涵式存在怪论,“如果a(我是上帝),那么b(1+1=3)”,很显然现实情况是不论我是不是上帝,都得不出1+1=3,自然也得不出1+1=2,但形式上它却是对的。可见这样的蕴涵式并不考虑前提与结论之间是否存在实质上的联系,因此将其称为形式蕴涵,a与b之间的蕴涵关系仅仅是形式上的。与之相对,Ra→b就可以称为实质蕴涵(这个称谓还有待商榷,后面会讲到),由于Ra→b是对Ra=b的延伸,我们知道对称是一个过程,对于任意一个过程Ra=b,必然对应着一个逻辑形式Ra→b,反之任意一个逻辑形式Ra→b,必然对应着一个过程Ra=b。具体到a(我是上帝)与b(1+1=3),我们能找到这样一个过程让a转化为b吗?不能,即R为空集,所以这时的a(我是上帝)→b(1+1=3)就是假的,从a(我是上帝)推不出b(1+1=3)。通过这个例子可以隐约感到对称逻辑的不同寻常之处。

再举个例子。a(天下雨),R(雨水打在地上),b(地上湿),Ra=b的意思是天下雨,经过雨水打在地上,导致地上湿,该过程对应的逻辑形式是Ra→b,Ra蕴涵b,如果天下雨,经过雨水打在地上,那么地上湿,于是a(天下雨)可以必然推出b(地上湿)。如果用形式蕴涵a→b,过程R是被忽略掉的,没有R,从a(天下雨)必然推出b(地上湿)就不那么可靠,因为天下雨也有地不湿的时候,前提与结论发生实质联系需要一个转化过程,这个过程不能省略。

还是这里的a(天下雨),b(地上湿),我们能不能由b(地上湿)推出a(天下雨)呢?这就要求Rb=a,关键看R是否为空,看是否存在一个过程使得b能够转化为a。确实存在这样一个过程,地上的水湿经过蒸发升腾,在空中形成积雨云,当积雨云中的水滴集聚到足够大时就会降落到地上,导致天下雨,即b(地上湿),经过R,导致a(天下雨),这是一个现实过程Rb=a,它对应着一个逻辑形式Rb→a,即b(地上湿),经过R,必然推出a(天下雨)。因此我们可以说a(天下雨)和b(地上湿)是对称的,即a又b,在逻辑上它们也是同时的,即a冂b。

因为a又b→a冂b,对称必定同时

且a冂b→a又b,同时必定对称

所以a又b↔a冂b,对称与同时是等价的,这称为同时律,对称逻辑的核心就是同时律。

与传统的演绎逻辑相比,演绎逻辑是普遍中蕴涵个别,普遍真可以必然推出个别真,a→b,a蕴涵b,a必然推出b,前提是a包含b,a、b是包含关系,a如果不包含b是不能必然推出b的。比如亚里士多德的三段论就是这样的蕴涵逻辑:

大前提:所有人是有死的;

小前提:苏格拉底是人;

结论:苏格拉底是有死的。

如果将小前提改成“苏格拉底是狗”,则不能必然推出结论“苏格拉底是有死的”,就因为改变之后的小前提与大前提勾连在一起不再包含结论了。

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