对称逻辑（一） (6-4)

Ra→b，是个什么东西?估计此前没人没见过，人们见得最多的是“如果a，那么b”，即a→b（读作a蕴涵b），这样的句式称为蕴涵式。它表示前提蕴涵结论，从前提可以必然推出结论，a蕴涵b，则从a必然推出b。但这个蕴涵式存在怪论，“如果a（我是上帝），那么b（1＋1=3）”，很显然现实情况是不论我是不是上帝，都得不出1＋1＝3，自然也得不出1＋1＝2，但形式上它却是对的。可见这样的蕴涵式并不考虑前提与结论之间是否存在实质上的联系，因此将其称为形式蕴涵，a与b之间的蕴涵关系仅仅是形式上的。与之相对，Ra→b就可以称为实质蕴涵（这个称谓还有待商榷，后面会讲到），由于Ra→b是对Ra＝b的延伸，我们知道对称是一个过程，对于任意一个过程Ra=b，必然对应着一个逻辑形式Ra→b，反之任意一个逻辑形式Ra→b，必然对应着一个过程Ra=b。具体到a（我是上帝）与b（1＋1＝3），我们能找到这样一个过程让a转化为b吗?不能，即R为空集，所以这时的a（我是上帝）→b（1＋1＝3）就是假的，从a（我是上帝）推不出b（1＋1＝3）。通过这个例子可以隐约感到对称逻辑的不同寻常之处。

再举个例子。a（天下雨），R（雨水打在地上），b（地上湿），Ra=b的意思是天下雨，经过雨水打在地上，导致地上湿，该过程对应的逻辑形式是Ra→b，Ra蕴涵b，如果天下雨，经过雨水打在地上，那么地上湿，于是a（天下雨）可以必然推出b（地上湿）。如果用形式蕴涵a→b，过程R是被忽略掉的，没有R，从a（天下雨）必然推出b（地上湿）就不那么可靠，因为天下雨也有地不湿的时候，前提与结论发生实质联系需要一个转化过程，这个过程不能省略。

还是这里的a（天下雨），b（地上湿），我们能不能由b（地上湿）推出a（天下雨）呢?这就要求Rb＝a，关键看R是否为空，看是否存在一个过程使得b能够转化为a。确实存在这样一个过程，地上的水湿经过蒸发升腾，在空中形成积雨云，当积雨云中的水滴集聚到足够大时就会降落到地上，导致天下雨，即b（地上湿），经过R，导致a（天下雨），这是一个现实过程Rb=a，它对应着一个逻辑形式Rb→a，即b（地上湿），经过R，必然推出a（天下雨）。因此我们可以说a（天下雨）和b（地上湿）是对称的，即a又b，在逻辑上它们也是同时的，即a冂b。

因为a又b→a冂b，对称必定同时

且a冂b→a又b，同时必定对称

所以a又b↔a冂b，对称与同时是等价的，这称为同时律，对称逻辑的核心就是同时律。

与传统的演绎逻辑相比，演绎逻辑是普遍中蕴涵个别，普遍真可以必然推出个别真，a→b，a蕴涵b，a必然推出b，前提是a包含b，a、b是包含关系，a如果不包含b是不能必然推出b的。比如亚里士多德的三段论就是这样的蕴涵逻辑：

大前提：所有人是有死的；

小前提：苏格拉底是人；

结论：苏格拉底是有死的。

如果将小前提改成“苏格拉底是狗”，则不能必然推出结论“苏格拉底是有死的”，就因为改变之后的小前提与大前提勾连在一起不再包含结论了。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。