数学 (6-5)

最近（也就是今年，2024 年的事情）关于忙海狸函数的最新研究成果证明了 BB(5) = 47176870。其实 47176870 这个数字在 30 多年前（1989 年）就已经被算出来了。剩下的工作其实都是“怎么证明其他那些机器最终都不会停机”。某种意义上讲这也正是忙海狸函数“不可计算性”的一个体现：它的函数值事实上并不是被“算出来”的，而是被“证明出来”的。算出一个（在事后用上帝视角看来，或者说依靠“神谕”）正确的数字只对应于忙海狸函数复杂性中微不足道的部分，剩下更加不可名状的任务其实是「证明你的答案是对的」。这一条和上一节中的讨论也是一致的——忙海狸函数的函数值显而易见地是一个自然数（即 (1')：在 ZFC 中可证），除了可观测宇宙状态数太少写不下之类细枝末节的技术困难（笑）之外也没有什么根本性的阻碍阻止你在 ZFC 里面讨论「辣个（依据神谕）在数字上等于 BB(750) 的自然数」（展开成标准的冯诺伊曼序数符号的形式）。

如果题主能够意识到「47176870」这个数字并没有什么不可名状的魔力阻止我们（在任何算术系统中，无论它多么弱）去讨论「0.333...3 (BB5 个 3) ＜ 1/3」，那么「辣个（依据神谕）在数字上等于 BB(750) 的自然数」其实也一样。如果我们预先在元语言里把「BB(5)」展开成「47176870」，「0.333...3 (47176870 个 3) ＜ 1/3」就立即是一个显然的结论，与我们工作理论的强度无关。唯一的问题在于证明「BB(5) = 47176870」这件事本身并不平凡，而且如果选用的算术系统足够弱，这个结论有可能证明不出来。BB(750) 所面对的情况和 BB(5) 并没有真正本质的区别。如果我们预先在元语言里面把 BB(750) 展开成一个具体的自然数 K（当然，需要忽略掉可观测宇宙状态数太小写不下之类“细枝末节”的技术困难），「0.333...3 (K 个 3) ＜ 1/3」也同样是一个显然的结论，而且同样并不依赖于我们选取的工作理论的强度。只不过证明「K = BB(750)」确实是不平凡的：而且我们已经确认它超出了 ZFC 的能力范围。当然，即使如此，原则上也并不阻止我们在一个比 ZFC 更强的工作理论中尝试证明这个结论。在往 ZFC 中添加了合适的公理之后，我们可能可以得到一个足以判定 BB(750) 的一阶理论。

那如果 ZFC 其实是不一致的呢？

这是完全有可能发生的事情：事实上，公理化集合论这个事情本身就是因为我们发现朴素集合论是不一致的才被发展起来。更不消说，在大数数学领域常年充斥着各种不良定义的记号（其中有一些甚至是在已经明确证实不良定义的前提下仍被广泛使用），这其实就是在做“不一致的数学”。虽然经过长期数学实践的检验我们相信以 ZFC 为代表的公理化集合论是一致的，但这也完全有可能是我们搞错了。如果 ZFC 是不一致的，那么「机器 A」最终会停机，而且停机步数会依赖于从 ZFC 的公理出发证明矛盾的最短证明的长度。如果这个证明的长度非常长（我是说，「非常」长，你懂的），那么「机器 A」有可能会在忙海狸竞赛中取胜，从而决定 BB(750) 的具体值。

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