数学 (6-4)

(3b)：显然也是 ZFC 的定理，此处的 K 是首先在元语言里面被钦定了一个固定的有限大的值，在 ZFC 中则应当被视为是一个被具体写下的自然数（有限冯诺依曼序数）符号。此时 (3b)：作为 ZFC 的定理成立是显然的。而 (3b)：后面六角括号里的内容仅仅是对那个 ZFC 中的具体的自然数符号在（包含神谕的）元语言层面的解读，对于限定在 ZFC 中的讨论来说实际是不存在的。在这个语境下，(3b)：也同样可以（从另一个方向上）被解释为「ZFC 可以证明 0.333...3 (BB750 个 3) ＜ 0.333... (循环) = 1/3」。

实际上 ZFC 真正不能见证的恰恰就是「 K = BB(750) 」这一步：（假设 ZFC 一致，）你没有办法写下一个在 ZFC 里面合法的证明来确认你依靠神谕机找到的那个 K 确实等于 BB(750)。

从上面的讨论中可以看出，(3a)：和 (3b)：说白了是从两个不同的方向进行旁敲侧击：(3a)：表明 ZFC 可以证明可以证明 ZFC 中【满足某个特定一阶语言句子】的自然数 K 一定唯一存在，并且那些对任意自然数都成立的性质（显然）也对 K 成立。至于这个 K 究竟等于多少（乃至于 K 在元语言里究竟是不是标准的），ZFC 是没法回答的。(3b)：说明那个在元语言里可以（通过神谕）被见证为 BB(750) 的「那个具体的自然数 K」，它在 ZFC 里也就是一个普通的自然数，从而那些对任意自然数都成立的性质（显然）也对 K 成立。至于只在元语言中才能见证的那个关系（「K = BB(750)」）在 ZFC 中是否成立，ZFC 当然也是没法回答的。

3. 世界线分歧 α：ZFC 是一致的吗？

前面所有的讨论都假设 ZFC 确实是一致的。根据忙海狸函数的定义我们很容易意识到，如果 ZFC 确实是一致的，那么那个用来枚举从 ZFC 的公理出发证明矛盾的 2 色 745 状态图灵机（不妨把它叫做「机器 A」）就永远不会停机，而永远不会停机的图灵机对忙海狸函数的函数值其实是没有贡献的。拥有神谕的题主大概率会发现 BB(750) 的函数值其实来自于某个增长率暴力到超越人智的快速增长函数（大数数学家狂喜），不仅不是什么不可捉摸的无穷大/非标准自然数，甚至跟那个「机器 A」压根就没什么关系。ZFC 的问题只不过是它没法证明某些图灵机（比如「机器 A」）不会停机，也无法判定那个最终生成了 BB(750) 函数值的图灵机所对应的增长率——这两个问题在大数数学领域都是稀松平常的事情，根本没有什么值得惊讶的。像 Laver Table 之类看起来人畜无害的玩意也一样可以搞出增长率（疑似）在 ZFC 里不可判定的函数。

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