数学 (6-6)

然而从另一个方面来说，考虑到我们在构造 ZFC 时，并没有试图去优化“证明矛盾的最短长度”这样一个目标。即使 ZFC 确实不一致，想要让从 ZFC 公理出发证明矛盾的最短证明恰好能长到足以赢得忙海狸竞赛，这个可能性其实也不见得就很高——更大的可能性是，如果 ZFC 确实不一致，那么见证矛盾的证明可以用不超过 10↑↑10 个符号写下来。在这种情况下，「机器 A」的停机步数会和真正的忙海狸冠军相差甚远。此时「ZFC 的一致性」和 BB(750) 之间的关系只能说是有一点，但不多。

由本节中的讨论，我们事实上可以得出这样的观察：「BB(750) 在 ZFC 中不可判定」这句话，其实它更多地是在陈述某种 ZFC 的性质，而不是在陈述有关 BB(750) （作为一个自然数）的性质。如果 ZFC 事实上是一致的，则「BB(750) 在 ZFC 中不可判定」这个命题（以及与之相关的那个「机器 A」）事实上和 BB(750) 作为一个自然数的具体值（以及相关的数论性质）完全无关——因为「机器 A」事实上并不会停机，因此根据定义，它对 BB(750) 的值从一开始就没有任何贡献。实际上 BB(750) 的函数值来自于其他（和 Con(ZFC) 完全无关的）计算过程。如果 ZFC 事实上不一致，BB(750) 也有很大的可能性并不和「机器 A」直接相关——这需要 ZFC 中最短的见证矛盾的证明的长度超过各种不可名状的大数才会发生。

而无论 ZFC 是否一致，我们都有足够的理由接受「0.333...3 (BB750 个 3) ＜ 1/3」为真：除非涉及无穷的数学并不真正存在（i.e., 事实上不存在一个「拥有合理强度的一致的一阶理论」可以作为我们的工作理论），或者我们拒绝经典逻辑（i.e., 禁止排中律，这会导致无法在不给出具体构造的前提下证明 BB(750) 是一个自然数），否则 (1‘)：和 (2)：总是成立（i.e., 总是可以找到合理的一致的工作理论使得它们是理论中的内定理），从而 (3a)：也总是（能够找到合理的一致的工作理论使其）成立。另一方面，除非忙海狸函数本身不良定义或者有穷数学本身不一致，否则 (3b)：必然始终成立（且不依赖于具体工作理论的选取）。因此，除非我们目前所工作的数学体系存在着一些根本（我是说，比 Con(ZFC) 可能不成立要更加根本）的问题，否则我们总是可以接受「0.333...3 (BB750 个 3) ＜ 1/3」为真，且这一点（在很大程度上）并不依赖 ZFC 或者某个特定的工作理论，也并不特别需要对「ZFC 到底是不是一致的」进行预设。

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