数学 (6-3)

(4!)：有且仅有唯一的自然数 K，它满足【K = BB(750)】，且 D ＞ K。

上面的命题实际上就是蔡廷不完备性的一种形式。且我们立即可以得出这样的推论：对于元理论中每一个有限的自然数 D，【D = BB(750)】同样也都不是 ZFC 中的定理（除非 ZFC 不一致）。也即是说，就算可以通过某种特殊的方式获得 BB(750) 的真实值，我们也没法在 ZFC 里验证它。

重新收集一下我们的结果：

(a)ZFC 可以证明 BB(750) 是一个自然数：(1')：是 ZFC 的内定理。

(b)ZFC 可以判定 BB(750) 的一些平凡（比如对所有自然数成立）的算术性质。具体地，(3a)：是 ZFC 的内定理。

(c) 无论对 (a) 还是 (b)，ZFC 上的证明都是非构造性的。对 (a) 的证明并不能提供一个 BB(750) 的具体构造，同样，对 (b) 的证明也不蕴含题主想象中的那个“可以构造性地验证 BB(750) 到底等于多少”的程序。如果题主接受排中律，那么“非构造性的证明”应该不是什么难以想象的东西。而且你也不可能通过设计某种“看起来似乎应该可以被构造性地验证”的性质来强迫 ZFC 提供一个构造性的证明。

(d) 除了 (a) 和 (b) 之外，ZFC 还可以判定一些关于 BB(750) 的稍微不那么平凡的性质，例如 BB(750) 的一些稍微不那么平凡的下界。

(e) [除非 ZFC 不一致]BB(750) 的任何上界都不能在 ZFC 中被证明。特别地，借助神谕获得 BB(750) 的答案的人没有办法在 ZFC 中验证这个答案。

2. 神谕机

上一节中的 (e) 提到了神谕的概念。事实上，考虑到 BB(n) 是一个不可计算函数，在讨论它的一般性质的时候引入神谕是很容易想到的处理。此处我们直接假设题主拥有可以判定标准图灵机停机问题的神谕。这个神谕的构造也可以是非常简单粗暴的：比如给一台标准图灵机额外加装一卷记载了蔡廷常数精确值的纸带。

在上述神谕机的模型下，这个问题立刻就变得非常简单且直观：K = BB(750) 除了大到超越人智之外和任何其他有限大的自然数（比如TREE(750)）并没有什么本质区别。一旦真的把 K 具体写下来（比如说，展开成一个具体的有限长度的冯诺伊曼序数符号），在 ZFC 中证明用 K 构造出的有限小数小于 1/3 也没有什么难度。

(3b)：0.333...3 (K 个 3) ＜ 1/3，其中 K 是元语言中的某个特定自然数。〔在元语言中可以（依据神谕）见证 K = BB(750)〕

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