数学 (5-3)

• 张量相似度：通过分解后的低维表示来比较。

5、这些算法在高维空间中的语意是什么？

• 拓扑相似性：通过邻接矩阵和谱分析。

• 形状相似性：通过曲率或顶点坐标矩阵。

• 全局与局部特征：反映几何图形的整体与细节相似性。

6、这些矩阵能否直接压缩成一维数字？

• 主成分分析（PCA）：数据降维压缩技术，旨在将高维数据投影到一个低维空间，同时尽可能保留数据的主要信息（即最大化数据的方差）。

• 哈希函数：感知哈希、局部敏感哈希。

• 特征值聚合：通过特征值/奇异值聚合（如求和、取最大值等），用于简化矩阵之间的比较。

• 自编码器（Autoencoder）：在几何形状编码中，自编码器可以学习到形状的紧凑表示，这个表示可以作为形状的"数字签名"。

• 矩阵范数：矩阵范数是将矩阵映射到非负实数的函数，用于度量矩阵的"大小"。如Frobenius范数（计算矩阵所有元素平方和的平方根），谱范数（矩阵最大奇异值），1-范数（最大列和范数），∞-范数（最大行和范数）。

7、压缩后需要用什么的样的计算方式来比较，以度量其间的相似度？

• 欧氏距离：直接比较压缩后的数字，|a - b|。

• 哈希碰撞率：比较哈希值的相似性。

• 特征值差异：通过差值或比例度量相似性。

• 余弦相似度：(a · b) / (||a|| ||b||)

• 核函数：K(a, b) = exp(-γ||a - b||²)

具体实现示例（ChatGPT-4o-Latest 辅助）：

1.Hausdorff 距离（Hausdorff Distance）

数据结构

• 点集：用于表示两个几何图形的边界轮廓或顶点集。

• 向量：每个点的位置可以用向量表示，描述其在空间中的坐标。

概要算法

Hausdorff 距离用于衡量两个点集之间的最大最小距离，能够反映两个图形在空间中的相似程度。

1. 对于两个点集 A 和 B，计算集合 A 中每个点到集合 B 中所有点的最小距离。

2. 在所有计算出的最小距离中，找到最大值，作为集合 A 到集合 B 的 Hausdorff 距离。

3. 交换 A 和 B 的角色，重复步骤 1 和 2，得到集合 B 到集合 A 的 Hausdorff 距离。

4. 最终的 Hausdorff 距离是这两个距离的最大值。

适用场景：适用于轮廓点或离散点集的相似度比较，能够处理旋转、平移等变换。

echet 距离（Frechet Distance）

数据结构

• 曲线：表示几何图形的路径或边界。

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