数学 (5-2)

数字化：一般只能描述一个维度的信息，如针对「边数」、「内角和」、「曲率」进行计数。

矩阵化：可以保留完整信息，如保留其顶点、弧度信息组织成可还原的数据结构矩阵。

可比矩阵：矩阵化得到的矩阵往往是难以「直接」（像比较数字大小一样）比较的，需要设计算法进行比较，这个算法也包含了低维对高维的计算过程，也就是上面的「数字化」的过程。

因此，题主的问题中，隐藏了「数字相似」背后自然的比较算法。对于复杂几何体，其间比较算法并不是一维的，而是高维的，人的理性不支持这样的直接比较，但可以拆解成算法进行比较——即整个算法可以作为整体「比较器」来实现比较功能。

对于三维世界中的几何体，人脑具有硬件加速（枕叶为主）的视觉计算加速机制，可以高速高效地提取其中特征，判断形状、质地（texture）、颜色等特征的相似性——这些判断能力可以比作神经层面类 Transformer 堆叠机制。

也就是说，一切「自然」的比较，最后都可以落实到明确的算法，才可以执行。

其中「基本运算」由硬件提供，即计算机组成（CPU 部分为主）中的 ALU(arithmetic and logic unit) 部分： 算术逻辑单元。

那硬件由由什么驱动？由物理。这意味着其根本算力是从宇宙中「借」（引导）来的。

因此，重定向一下问题 Prompt：

全局问题

有没有一种将几何图形映射成一个数字的方法，要求相似的图形映射出的数字也相似？

建议步骤

1、如何基于不同坐标系来描述一个几何图形，不同坐标系主要描述什么特征？

• 笛卡尔坐标系：描述顶点坐标、边、面。

• 极坐标系/球坐标系：描述半径、角度、方位。

• 齐次坐标系：表示仿射变换（平移、旋转、缩放）。

• 傅里叶描述符：频域表示

2、这样的描述在数据结构上是什么样的？

• 点集/顶点表：顶点的坐标列表。

• 邻接矩阵：表示拓扑结构。

• 面片列表/曲率矩阵：描述几何结构和曲率。

3、能否将他们统一在同样的数据结构下，如矩阵（张量）？

• 张量：如顶点坐标矩阵、邻接矩阵。用于组合多维特征，表示更复杂的几何信息。

• 点云（Point Cloud）：无序点集合，每个点可以包含多种属性，适用于表示3D扫描或复杂形状，与对复杂问题的暴力（进化/退火）算法。关键区域可以增加点密度，使其整体更具代表性。

• 图/树（Graph/Tree）结构：图/树结构可以保留其形态上的通路特征，往往是具体算法过程中的关键结构（同构映射）。

4、统一后的矩阵之间怎么设计不同的比较算法？

• 欧氏距离：直接比较点集的距离。

• 特征值比较：比较邻接矩阵的谱特征。

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