数学 (5-1)

涉及到了象数到术数问题的关键——象（几何）与数（数据结构）的数据转化与判断算法。

「数字相似」需要定义：是量接近还是位接近？

量接近也需要指出其判断算法（Comparator），如绝对值差值，平方差值，或比例差值等。

• 量接近：指两个数字在数值上的接近程度。可以通过以下几种方式来度量：

绝对值差值：定义为 |α – b| ，即两个数字的差的绝对值。

平方差值：定义为 (α – b)² ，这种度量方式在统计学中常用，如均方误差（MSE）。

比例差值：定义为

|α – b|

───，

|b|

即两个数字的相对差异，特别适用于大小悬殊的数值比较。

• 位接近：指两个数字在表示形式上的接近程度，尤其是在十进制或其他进制中的表示。比如，3.14159 和 3.14160 在小数点后五位上非常接近，即位接近。

数字本身可以与一维几何映射成数轴。许多实数无法用简单的十进制表示，如超越数 π 和 e，它们超越了一般的计数法，无法通过有限的十进制数表示。这些数只能通过符号直接标记，或通过无穷小数、连分数等形式来表示。

十进制计数法数字与四则运算同构，其同构的就是一个收敛的无穷级数，因此只能完整标记四则运算的「结果」：

ₙ bⱼ

x＝∑αᵢ × 10ⁱ＋∑∞ⱼ₌₁ ──

ᵢ₌₀ 10ʲ

面临开方、取对数等超越四则运算的计算操作时，十进制计数法就很可能无法完整标记其计算结果了。而且其小数部分由于以「10」为基，会出现循环节问题。为此有连分数（ 连分数）计数法，其计算过程有两类「距离」计算方式，一为欧式差值距离，二是比例距离。

因此，一维的几何图形（线）就已经超越一般计数法的标记范围了。但如果我们不关注其完整信息，只关注其度量信息的话，在特定空间（欧式空间，黎曼空间）下其长度关系也可以投射为数量关系。

二维的图形则更难直接映射。然而，既然线可以构成面，那数字理论上也可以构成数字面——矩阵！

将几何图形映射成相似数字的方法都涉及矩阵运算。矩阵包含标准网格结构，这样的结构可以通过 一定规则投射到任意几何面上。数字可以看作一维空间中的点，矩阵不仅可以表示二维平面信息，还可以通过适当的设计和操作，扩展到高维空间。也就是说，矩阵可以在低维空间（数字+位置关系）映射高维空间的信息。

自然语言通常包含复杂的、高维度的信息。AI 系统通过特定的矩阵操作（如张量运算、深度学习网络中的隐藏层操作等）将这些信息展开、压缩，并映射到矩阵中。这样，AI 能够在高维空间中「看见」人类通过直观、线性推理难以捕捉到的模式和关系。

原几何图形：处于某维度的特定空间坐标系中，包含其维度下的完整信息，具有绝对完整的矢量描述，可以判断彼此是否相同。

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