【概率论】中心极限定理 (7-5)

伯努利大数定律是最早被发现的大数定律，因为这是生活中最容易发现的规律。

2.5 辛钦大数定律

以上2.1至2.4的大数定律都对{Xₙ} 的方差有所约束，而接下来的辛钦Khinchin大数定律可以完全不考虑方差：

如果{Xₙ} 独立同分布且具有有限的数学期望 𝔼X ，则 {Xₙ} 服从大数定律。

这个定理的证明较复杂，此处不予证明。

3. 中心极限定理

大数定律研究的是一系列随机变量{Xₙ}的均值

─ 1 ₙ

Xₙ＝─ ∑Xᵢ

n ᵢ₌₁

─

是否会依概率收敛于其期望 𝔼Xₙ 这个数值，而中心极限定理进一步研究

─

Xₙ

服从什么分布。若 {Xₙ} 满足一定的条件，当n足够大时，

─

Xₙ

近似服从正态分布，这就是中心极限定理的主要思想，这也体现了正态分布的重要性与普遍性。

3.1 林德贝格-勒维/独立同分布中心极限定理

如果{Xₙ} 独立同分布，且 𝔼X＝μ，𝔻X＝σ²＞0，则n足够大时

─

Xₙ 近似服从正态分布

σ²

N(μ，─) ，即

n

─

Xₙ – μ

lim P(───＜α)＝Φ(α)＝∫α₋∞ ↓

n→∞ σ/√n

1

─── e⁻ᵗ²/²dt

√2π

上述定理就是林德贝格-勒维Lindeberg-Levy中心极限定理，又称独立同分布中心极限定理。

这个定理的证明也比较复杂，此处不予证明。

这个定理是容易理解、记忆的。首先记住{Xₙ} 的均值

─

Xₙ

近似服从正态分布，接下来只需要解出这个正态分布的期望和方差。期望有

─ 1 ₙ nμ

𝔼Xₙ＝─ ∑𝔼Xᵢ＝─＝μ

n ᵢ₌₁ n

方差有

─ 1 ₙ nσ² σ²

𝔻Xₙ＝── ∑𝔻Xᵢ＝──＝──

n² ᵢ₌₁ n² n

─

那么Xₙ 近似服从的正态分布就是

σ²

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