【概率论】中心极限定理 (7-4)

由此得到马尔可夫大数定律：

1 ₙ

如果lim ── 𝔻(∑Xᵢ)＝0，

n→∞ n² ᵢ₌₁

则 {Xₙ} 服从大数定律。

2.2 切比雪夫大数定律

在马尔可夫大数定律的基础上，如果{Xₙ} 两两不相关，则方差可以拆开：

1 ₙ 1 ₙ

─ 𝔻(∑Xᵢ)＝─ ∑ 𝔻Xᵢ

n² ᵢ₌₁ n² ᵢ₌₁

如果𝔻Xᵢ 有共同的上界c，则

1 ₙ nc c

─ ∑𝔻Xᵢ ≤ ─＝─

n² ᵢ₌₁ n² n

─ ─ c

P(|Xₙ – 𝔼Xₙ|＜ε) ≥ 1 – ──

ε²n

由此得到切比雪夫大数定律：

如果{Xₙ} 两两不相关，且方差有共同的上界，则 {Xₙ} 服从大数定律。

2.3 独立同分布大数定律

在切比雪夫大数定律的基础上，进一步限制{Ⅹₙ} 独立同分布，立刻得到独立同分布大数定律：

如果{Xₙ} 独立同分布且方差有界，则 {Xₙ} 服从大数定律，即

─ ᴘ ─

Xₙ → 𝔼Xₙ＝𝔼X

2.4 伯努利大数定律

根据经验，在做了大量独立重复实验后，某随机事件A发生的频率与概率往往会十分接近，这正是大数定律在发挥作用。

记第k次试验中A的示性函数为lᴀ，ₖ ，则所有n次试验中A发生的频数是

ₙ

∑ lᴀ，ₖ，频率是

ᵢ₌₁

1 ₙ

─ ∑ lᴀ，ₖ，易知

n ᵢ₌₁

1 ₙ 1 ₙ nP(A)

𝔼(─ ∑ lᴀ，ₖ)＝─ ∑ 𝔼lᴀ，ₖ＝──

n ᵢ₌₁ n ᵢ₌₁ n

＝P(A)

又知这n个lᴀ，ₖ 独立同分布且方差有界，由独立同分布大数定律知 {lᴀ，ₖ} 服从大数定律，这就是伯努利Bernoulli大数定律：

记nᴀ 为n次伯努利实验中事件A发生的次数，记p为事件A发生的概率，则

nᴀ ᴘ

── → p

n

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