【概率论】中心极限定理 (7-6)

N(μ，─)

n

，归一化后的随机变量

─

Xₙ – μ

───

σ/√n

近似服从标准正态分布 N(0，1) .

3.2 棣莫弗-拉普拉斯/二项分布中心极限定理

棣莫弗-拉普拉斯De Moivre-Laplace中心极限定理是独立同分布中心极限定理的特殊情况，它是最先被发现的中心极限定理。

设随机变量ξₙ 服从二项分布 B(n，p) ，其中n指n重伯努利试验，p指概率。 ξₙ 可视为n个独立同分布的01分布随机变量的和，满足独立同分布中心极限定理的条件。因为 𝔼ξₙ＝np 𝔻ξₙ＝np(1 – p) ，当n足够大时 ξₙ 近似服从正态分布 N(np，np(1 – p)) ，即

ξₙ – np

lim P(──────＜α)＝Φ(α)

n→∞ √np(1 – p)

该定理表明：当试验次数n足够大时，二项分布近似于正态分布。

*3.3 独立不同分布下的中心极限定理

长度、重量、时间等等实际测量量一般符合正态分布，因为它们受各种微小的随机因素的扰动。这些随机因素的独立性是很普遍的，但很难说它们一定同分布。

实际上，一系列独立不同分布的随机变量也可能满足中心极限定理，只是这些不同分布的随机变量要有所限制。以下给出两个独立不同分布下的中心极限定理，不予证明，仅供欣赏：

林德伯格中心极限定理

设{Xₙ} 是一系列相互独立的连续随机变量，它们具有有限的期望 𝔼Xᵢ＝μᵢ 和方差 𝔻Xᵢ＝σ²ᵢ ，记

ₙ ₙ

Yₙ＝ ∑Xᵢ，𝔻Yₙ＝∑σ²ᵢ＝B²ₙ，

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

记 Xᵢ 的密度函数是 pᵢ(x) ，若

1 ₙ

∀τ＞0：lim ─── ∑

n→∞ τ²B²ₙ ᵢ₌₁

∫|x–μᵢ|＞τBₙ(x – μᵢ)²pᵢ(x)dx＝0

则

1 ₙ

lim P(── ∑(Xᵢ – μᵢ)＜α)＝Φ(α)

n→∞ Bₙ ᵢ₌₁

林德伯格中心极限定理对{Xₙ} 的约束基本上是最弱的，也就是最强的中心极限定理。然而该定理的条件较难运用与验证，以下的定理是它的特例：

李雅普诺夫Lyapunov中心极限定理

设{Xₙ} 是一系列相互独立的随机变量，若

1 ₙ

∃δ＞0：lim ── ∑𝔼(|Xᵢ – μᵢ|²⁺δ)

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