【概率论】中心极限定理 (7-3)

P(|X – μ| ≥ α)＝(∫μ⁻α₋∞＋∫⁺∞μ₊α) p(x)dx

上式求的是图3中阴影部分的面积。

p(x)

显然，在积分范围内恒有

(x – μ)²

──── ≥ 1，故

α²

P(|X – μ| ≥ α) ≤ (∫μ⁻α₋∞＋∫⁺∞μ₊α)

(x – μ)²

──── p(x)dx

α²

被积函数是非负的，x轴上一部分的积分必然不大于整个x轴上的积分，故

(x – μ)²

P(|X – μ| ≥ α) ≤ ∫⁺∞₋∞ ── p(x)dx

α²

1 𝔻X

＝── 𝔼(X – μ)²＝──

α² α²

证毕。

2. 大数定律

对于一系列随机变量{Ⅹₙ} ，设每个随机变量都有期望。由于随机变量之和

ₙ

∑ Xᵢ

ᵢ₌₁

很有可能发散到无穷大，我们转而考虑随机变量的均值

─ 1 ₙ

Xₙ＝─ ∑ Xᵢ

n ᵢ₌₁

─

和其期望 𝔼(Xₙ) 之间的距离。若 {Xₙ} 满足一定条件，当n足够大时，这个距离会以非常大的概率接近0，这就是大数定律的主要思想。

定义：

任取ε＞0 ，若恒有

─ ─

lim P(|Xₙ – 𝔼Xₙ|＜ε)＝1 ，称 {Xₙ} 服从（弱）大数定律，称

─ ─

Xₙ 依概率收敛于 𝔼Xₙ ，记作

─ ᴘ ─

Xₙ → 𝔼Xₙ

每个“大数定律”其实都是定理，需要证明，只是大家习惯叫他定律罢了。

这里只讨论弱大数定律，并且把弱大数定律简称为大数定律。

2.1 马尔可夫大数定律

任取ε＞0 ，由切比雪夫不等式知

─

─ ─ 𝔻(Xₙ)

P(|Ⅹₙ – 𝔼Xₙ|＜ε) ≥ 1 – ───

ε²

1 ₙ

＝1 – ── 𝔻 (∑Xᵢ)

ε²n² ᵢ₌₁

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