【概率论】中心极限定理 (7-2)

P(ξ∈A) 是什么？是样本点落在A里面的概率，也就是A事件发生的概率 P(A) ，由此我们就得到了示性函数很重要的性质：其期望值正是对应的随机事件的概率，即

𝔼lᴀ＝P(A)

1.2 马尔可夫不等式

对于非负的随机变量X 和定值 α ，考虑随机事件 A＝{X≥α} ，我们可以画出示性函数 lᴀ 关于观察值x的图像，如图1所示：

x

─

α

lx≥α

容易发现

x

lx≥α(x) ≤ ─

α

恒成立。把x换为随机变量X，再对该式取数学期望得

𝔼X

𝔼lx≥α＝P(X≥α) ≤ ──

α

称该不等式为马尔可夫Markov不等式。

从理解上来说，如果非负随机变量X的期望存在，则X超过某个定值a的概率不超过

𝔼X

── .

α

举个简单的例子：如果我们知道所有人收入的平均数a，那么随机抽一个人收入超过10a的概率不超过10%.

根据图1中两个函数的差距，我们大致能理解这个不等式对概率的估计是比较粗糙的。

1.3 切比雪夫不等式

对于随机变量X ，记 μ＝𝔼X，考虑随机事件 A＝{|X – μ| ≥ α} ，其示性函数的图像如图2所示：

(x – μ)²

────

α²

l|x–μ|≥α

易知

(x – μ)²

l|x–μ|≥α ≤ ───

α²

恒成立。将该式的x换成X并取数学期望得

𝔻X

𝔼l|x–μ|≥α＝P(|X – μ| ≥ α) ≤ ──

α²

称上面这个不等式为切比雪夫Chebyshev不等式。

从理解上来说，如果随机变量X的期望和方差存在，则X和期望值的距离大于a的概率不超过

𝔻X

── .

α²

给定的范围越大（a越大），或X的方差越小，则偏离的概率越小，这和直觉是相符的。

同样地，切比雪夫不等式对概率的估计也比较粗糙。

以下再给出一个书本上常见的切比雪夫不等式的证明：

记p(x) 为随机变量 X 的概率密度函数，则

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