【概率论】中心极限定理 (7-1)

目录

1.切比雪夫不等式 ▹

1.1示性函数 ▹

1.2 马尔可夫不等式 ▹

1.3 切比雪夫不等式 ▹

2.大数定律 ▹

2.1 马尔可夫大数定律 ▹

2.2 切比雪夫大数定律 ▹

2.3独立同分布大数定律 ▹

2.4伯努利大数定律 ▹

2.5辛钦大数定律 ▹

3.中心极限定理 ▹

3.1林德贝格-勒维/独立同分布中心极限定理 ▹

3.2 棣莫弗-拉普拉斯/二项分布中心极限定理 ▹

*3.3独立不同分布下的中心极限定理 ▹

林德伯格中心极限定理 ▹

李雅普诺夫Lyapunov中心极限定理 ▹

学习阶段：大学数学。

前置知识：微积分、随机变量、数学期望、方差。

1. 切比雪夫不等式

切比雪夫不等式可以对随机变量偏离期望值的概率做出估计，这是大数定律的推理基础。

以下介绍一个对切比雪夫不等式的直观证明。

1.1 示性函数

对于随机事件A，我们引入一个示性函数

1， A

lᴀ＝{

0， A

，即一次试验中，若A发生了，则 l 的值为1，否则为0.

现在思考一个问题：这个函数的自变量是什么？

我们知道，随机事件在做一次试验后有一个确定的观察结果，称这个观察结果为样本点 ω ，所有可能的样本点的集合称为样本空间 Ω＝{ω} . 称 Ω 的一个子集 A 为随机事件。

例如，掷一个六面骰子，记得到数字k的样本点为ωₖ ，则 Ω＝{ω₁，ω₂，ω₃，ω₄，ω₅，ω₆} ，随机事件“得到的数字为偶数”为 A＝{ω₂，ω₄，ω₆} .

由此可知，示性函数是关于样本点的函数，即

1， ω∈A

lᴀ(ω)＝{ （试验后）

0， ω∉A

在试验之前，我们能获得哪个样本点也未知的，因此样本点也是个随机事件，记为ξ ，相应地示性函数可以记为

1， ξ∈A

lᴀ＝{ （试验前）

0， ξ∉A

在试验之前，l 值也是未知的，因此 l 是个二值随机变量。这样，我们就建立了随机事件A和随机变量 l 之间的一一对应关系。

对l 求数学期望可得

𝔼lᴀ＝1 × P(ξ∈A)＋0 × P(ξ∉A)＝P(ξ∈A)

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