Woodin对Reinhardt Cardinals与ZFC (3-3)

因为"存在函数S：κ → P(λ⁺)，使得 range(S) 是对 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的一个partition, 其中每一个集合都是 λ⁺ 中的驻集"是一个一阶语句, 所以j将会保留这个语句的真值, 即: "存在函数 j(S)：j(κ) → P(j(λ⁺))＝P(λ⁺)，使得 range(j(S)) 是对 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的一个partition, 其中每一个集合都是 λ⁺ 中的驻集".

特别地, 因为 κ∈j(κ)，所以 j(S)(κ) 也是 λ⁺ 中的一个驻集.

定义C＝{ζ＜λ⁺│j(ζ)＝ζ∧cf(ζ)＝ω} .

C是 λ⁺ 的一个unbounded，ω-closed的子集(练习).

我们有如下事实：j(S)(κ)∩C ≠ ∅，这是因为C是一个club和 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的交集，而其中 j(S)(κ) 又是后者的驻子集.

那么此时，因为C 是 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的子集，而后者又被拆分为 S(α)，α＜κ ，所以肯定存在某一个 Sα₀ 与 j(S)(κ) 相交。

由于j(S)(κ)∩S(α₀)包含的都是共尾性为 ω 的序数, 所以 (j(S)(κ)∩S(α₀))∩C 不为空.

令ζ₀ ∈ (j(S)(κ)∩S(α₀))∩C .

因为这个 ζ₀ ∈ C，所以 j(ζ₀)＝ζ₀，同时，因为 ζ₀ ∈ S(α₀)，根据j的elementarity, 我们有 j(ζ₀)＝ζ₀ ∈ j(S(α₀))＝j(S)(α₀) .

可是现在问题来了: 我们前面说到过, 函数 j(S)：j(κ) → P(j(λ⁺))＝P(λ⁺)使得 (j(S)) 是对 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的一个partition.

所以 range(j(S)) 应该是两两不相交的.

但是我们刚得到了 ζ₀ ∈ j(S)(κ)∩j(S)(α₀) 矛盾.

所以在选择公理成立的情况下, Reinhardt cardinal不存在. ⊣

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