Woodin对Reinhardt Cardinals与ZFC (3-2)

由于j的定义域是全部V, 所以j必然地会是一个proper class, 所以关于j的命题都无法从字面意思上在ZFC里表达出来. 在其他大基数的情况下, "存在elementary embedding j：V → M "这个二阶claim都有等价的一阶formulation, 比如可测基数的情况下, 这个claim等价于"存在一个基数 κ , 使得 κ 上存在一个nonprincipal κ-complete ultrafilter".

我们下面证明"nontrivial elementary embedding j：V → V 不存在"这个claim不存在等价的一阶formulation.

proof: 假设Reinhardt cardinal存在, 令κ 为最小的Reinhardt cardinal, 并且假设这个j是first-order definable的, 那么 j(κ) 也是first-order definable的. 此时因为 κ∈V 根据elementary embedding的定义我们有：V├ κ is the least Reinhardt cardinal ⇔ V├ j(κ) is the least Reinhardt cardinal. 但是根据定义, j(κ)＞κ，得到矛盾. ⊣

所以为了能表述“非平凡初等嵌入j:V → V不存在. "这个命题,我们转移阵地到能表达二阶概念的集合论，GBC(哥德尔-伯奈斯集合论与选择)。

同时,我们留意到“j是初等的”有一个等价的一阶配方，这个结果由盖夫曼证明：

事实(盖夫曼):如果j:N → M是一个σ₁-elementary嵌入(意思是j只保证两个模型间的 Σ₁ 语句真值相同。

Σ₁ 语句的真值是一阶可定义的)，N与M都满足ZF，那么j就是一个初等嵌入。

所以我们所需要证明的命题如下: (GBC) "不存在一个Σ₁-elementary embedding j：V → V ." 等价地, 我们证明, "如果 j：V → M 是 Σ₁-elementary embedding, 那么 M ≠ V "

证明：

令κ＝crit(j) , 我们考虑如下序列：(κ，j(κ)，j(j(κ))，. . .jⁿ(κ)，jⁿ⁺¹(κ). . .) . 令 λ＝supₙ＜ωjⁿ(κ) . λ⁺ 是一个后继基数, 所以在选择公理下 λ⁺ 是一个不可数的正则基数.

所以根据Solovay splitting, 我们可以找到函数 S：κ → P(λ⁺)，使得 range(S) 是对 W＝{ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω}的一个partition, 其中每一个集合都是 λ⁺ 中的驻集.

我们留意到 j(λ)＝λ : 因为j(λ)＝j(supₙ＜ωjⁿ(κ))＝supₙ＜ω(j(jⁿ(κ)))＝λ .

此时注意：λ⁺ ≤ j(λ⁺)＝(λ⁺)ᴹ ≤ λ⁺ (中间的等号是因为j是elementary embedding). 所以 j(λ⁺)＝λ⁺ .

我们将用反证法证明命题. 我们现在假设M＝V , 并最终导出矛盾.

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