大数定律的机制与本质 (3-3)

64000 32252 31748 504 0.50393750

128000 6435763643 714 0.50278906

因此，即使αₙ 与 bₙ 有很大差距，当 n → ∞ 时它们的频率是有可能相等的。所以大数定律并不是我们前面所说的那样对之后的试验结果进行“调整”使其稳定在期望附近，而是无穷大极限运算的特点天然地使其稳定在期望附近。再如我们在抛硬币的游戏中，即使前1000000000次都是正面朝上，我们也不能说第1000000001次反面朝上的概率大。虽然我们直观感觉1000000000这个数很大，感觉它已经严重违背大数定律了；但它在无穷大面前就是九牛一毛，沧海一粟，根本无法打破平衡。如表所示 αₙ 与 bₙ 相差1000000000，但当n足够大时，频率仍然接近0.5。

1000000000是与n无关的常数，常数可以看作最低阶的无穷大。

n an bn an-bn an/n

1000000000 1000000000 0 1000000000 1.00000000

2000000000 1500000000 500000000 1000000000 0.75000000

4000000000 2500000000 1500000000 1000000000 0.62500000

8000000000 4500000000 3500000000 1000000000 0.56250000

16000000000 8500000000 7500000000 1000000000 0.53125000

32000000000 16500000000 15500000000 1000000000 0.51562500

64000000000 3250000000031500000000 1000000000 0.50781250

128000000000 6450000000063500000000 1000000000 0.50390625

总结

无论αₙ 与 bₙ 差距多么大，只要满足大数定律的条件，就必然有

αₙ

lim ───＝E[αₙ]

n→∞ αₙ＋bₙ

因为αₙ 与 bₙ 的差距在 n → ∞ 时是低阶项，不造成影响。

大数定律的本质——即使试验结果与期望之间出现很大的偏差，这些偏差在 n → ∞ 时都不作数。

再直白一点——大数定律是正确的，大家不必操心。

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